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TEIL C: Towards a Formal Model of TransComputing
Es ist also nicht so sehr Kroneckers Ausspruch: Die ganze Zahl schuf der liebe Gott; alles übrige ist Menschenwerk", der naiv ist, als vielmehr der Glaube, daß der Tod Gottes für die Arithmetik ohne Folgen geblieben sei. Kaehr 1982
Das Abstract Model of TransComputing wie es in Teil A dargestellt wurde, gibt noch keine Auskunft darüber, worauf sich das Modell bezieht, welches das Material seiner Berechnungen ist. Das Modell ist skizziert, nun muss gewissermassen der abstrakte Datentyp bestimmt werden, der bearbeitet werden soll.
Ebenso ist die logische Struktur der Programmiersprache des TransComputing zu bestimmen. Aus dem skizzierten Modell des TransComputing ergibt sich jedoch zwangsläufig, dass das formale Modell der Berechenbarkeit nicht mehr klassisch mathematisch sein kann. Insbesondere die Argumentationen zur Semiotik, Kenogrammatik und der Distribution rechnender Räume" zeigen deutlich in welche Richtung das Paradigma der Mathematik verlassen wird. Die Grundthese ist dabei, dass Computerwissenschaft im Sinne des TransComputation nicht ein Teilgebiet der Mathematik sein kann. Das Paradigma der Mathematik, in welcher Ausprägung auch immer, ist nicht in der Lage, die Grundbegrifflichkeiten, Methoden und Strategien für das TransComputing bereitzustellen. Wenn die Limitationstheorem die Grenzen der mathematizing power of homo sapiens" (Emil Post) markieren, dann eröffnet das Modell des TransComputing einen Horizont des Denkens jenseits der Mathematisierung.
Aus dieser Einsicht heraus entsteht die Notwendigkeit der Konzipierung eines neuen transklassischen Formalismus. Dabei ist als Erstes eine neue polykontexturale Arithmetik zu skizzieren. Selbstverständlich ist dies keine leichte Aufgabe und es kann hier auch nur eine einführende Idee gegeben werden. Andererseits sollte nicht vergessen werden, dass je nach Stufe der Modellierung, die verschiedensten mathematischen Methoden klassischer Art für eine schrittweise Erforschung des TransComputing fruchtbar gemacht werden können. Aus all dem Gesagten sollte auch deutlich sein, dass eine Modellierung der gesamten Konzeption im Sprachrahmen der klassischen Mathematik, Logik und Semiotik durchaus sinnvoll ist und gewiss eher machbar, als die Konstruktion gleich einer neuen Mathematik.
Ebenso ist es gewiss strategisch und wissenschaftspolitisch sinnvoll, von dem philosophischen Anspruch abzusehen, ihn zumindest temporär auszublenden und jedenfalls nicht zu betonen, um auf einer pragmatischen Ebene den Entwurf voran bringen zu können. Die folgenden Erweiterungsversuche von Grundbegriffen und basalen Methoden der Mathematik, lassen sich nach dem oben gesagten, durchaus in aller Neutralität den gestellten Ansprüchen gegenüber lesen und auf die geleisteten Konstruktionen hin überprüfen. Ohne in eine philosophische und wissenschaftspolitische Grundlagendebatte eintreten zu müssen ist es möglich, die Konstruktionsideen nachzuvollziehen und einer Einordnung in andere Strömungen wie auch eine Bewertung zu unterziehen. Immerhin gilt nach wie vor Die ganze Zahl schuf der liebe Gott; alles andere ist Menschenwerk." (Kronecker) Dies gilt auch für das Problem einer Einführung des TransComputing, wenn auch in schwierigerer Situation Angesichts seines vorzeitigen Todes.
Von grosser Wichtigkeit haben sich Begriffsbildungen aus der mathematischen Kategorientheorie erwiesen.
s. Joseph Goguen, A Categorical Manifesto"
Computation = Logik + Algorithmus
TransComputation = (PKL + PKA) + KG
Für die Fragen nach der Relevanz der Grundlagenforschung in der Mathematik
http://rbjones.com/rbjpub/philos/bibliog/hatch82.htm
http://rbjones.com/rbjpub/philos/maths/faq004.htm
Computer scientists have far more flexible view of formalism and sematics than traditional logicians. What is regarded as a semantic domain at one moment may later be regarded as a formalism in need of semantics."
M.P. Fourman, Theories as Categories, in: Category Theory and Computerpogramming, Springer LNCS 240, p. 435, 1986
Logiker allerdings, ob nun traditional oder nicht, wissen, dass sie es in der Logik mit einer Identitätstheorie zu tun haben, basierend auf der Identität der Zeichen ihrer Formalismen. Computerwissenschaftler dagegen haben bisher noch keine Logik des regarded as", etwa von state und transition, geliefert.
Categories. A category axiomatizes the abstract structural properties of sets and mappings between sets. Sets are considered as the objects and mappings are called the morphisms or arrows of the abstract category of sets. The language of category theory allows us to talk about arrows, their sources and targets and about their composition (o), of arrows, but not about the internal construction of sets and the nature of their elements. In particular, we cannot talk about the application "f (x)" of a map to an element of a set nor about the way f (x) is evaluated. One might say that sets and arrows are considered atomic particles of category theory and everything that is to be said about sets and mappings must be expressed solely in terms of the notion of composition, source and target.
To every object A, the existence of a particular identity arrow idA (sometimes written as 1A) is postulated. Categorical language is too weak to axiomatize it using an equation such as e.g. "idA(x) = :x", for this refers to elements x inside the object A and to the application f (x) of f to x. In categorical language rather, idA must be characterized as an arrow satisfying:
for all morphisms f with source (f ) = A we have f o idA = f, and
for all morphisms g with target (g) = A we have idA ° g= g.
Note that composition is to be read from right to left - in accordance with traditional mathematical habit.
Definition 3.1. A category C consists of a class CO of objects A, B, C, . .. and a class Cm of morphisms or arrows f,g,h,... between these objects together with the following operations:
associating with each arrow its source (domain), resp. its target (codomain), and with every object A its identity arrow idA. Moreover there is a partial operation (o) of composition of arrows. Composition of f and g is defined whenever codom(f ) = dom(g). The result is a morphism go f with dom(g o f ) = dom( f ) and codom(g o f ) = codom(g). The following lauls have to be satisfied wenever the composition is defined:
3.1.1. Commutative Diagrams. Many notions have their origin in the standard example, the category of sets and mappings, so we borrow notions, symbols and graphical visualizations from there. For instance, we write f: A --> B, if f is a morphism with dom(f ) = A and codom(f ) = B. We use uppercase letters for objects and lower case letters for arrows.
It is convenient to draw objects as points and morphisms as arrows between these points. Such a representation is called a diagram. Often, compositions of arrows are not drawn - their presence is implied. A path of arrows represents the composition of the arrows involved. Whenever there are two different paths from an object A to an object B that enclose an area, it is often implied that their compositions are equal. One says that the diagram (or parts of it ) commutes. To emphasize this, a circle