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Towards a General Model of Polycontextural Computation
Die klassische Konzeption des Berechenbaren und Machinalen wie sie in grosser Allgemeinheit von Leonid Levin skizziert wurde, setzt offensichtlich zwei fundamentale Kategorien voraus: Raum und Zeit. Beide sind jedoch in einem genuin semiotischen bzw. machinalen Sinne (L�nge einer Berechnung, Gr�sse der Konfiguration) verstanden und nur indirekt, etwa bei Komplexit�ts�berlegungen, verbunden mit dem Raum- und Zeitbegriff der Philosophie und der Physik. Ein transklassischer Entwurf des Machinalen hat somit gar keine andere Wahl als sich jenseits von Raum und Zeit zu definieren will er seine Eigenst�ndigkeit realisieren. In diesem Sinne ist das kenomische Modell des Berechenbaren elementarer, wenn auch vielleicht nicht gerade einfacher (zu verstehen).
In den vorangehenden Kapiteln wurde gezeigt, dass sich die kenogrammatische �quivalenz unabh�ngig von der semiotischen �quivalenz Einf�hren l�sst. Die allgemeinste Definition von Raum und Zeit liefert die Semiotik. Aufgrund des Identit�tsprinzips ihrer Zeichen gilt, dass zwei Zeichen nicht zugleich den selben Ort (K�stchen) einnehmen k�nnen. Zwei Zeichen sind entweder identisch oder divers. Damit diese Unterscheidung funktioniert, m�ssen Zeichen separierbar sein. Sie m�ssen unterschiedliche Orte einnehmen k�nnen. Identifizierbarkeit und Separierbarkeit haben einen semiotischen Raum zur Voraussetzung. Eine �berdetermination von Zeichen(vorkommnissen), wie etwa in der Konkreten Poesie, ist ausgeschlossen. Zeichen erscheinen nacheinander, nicht �bereinander. Sie sind durch die Verkn�pfungsoperation miteinander verbunden, d.h. aneinander gereiht. Diese Reihung, Zeichenreihengestalt, bestimmt ihre Temporalit�t. Der Zeichenfluss ist in der Zeit. Zeichen setzen Raum und Zeit voraus. Sie zeitigen und raumen nicht. Diese Argumentation gilt sowohl f�r die konstruktivistischen wie f�r die platonistische Auffassung der Semiotik. Wobei die Platonisten auf den Raum der semiotischen Relationalit�t setzen und die Zeitlichkeit ihrer Axiomatiken verdr�ngen, dagegen setzen die Konstruktivisten auf die Zeitstruktur ihrer semiotischen Operationen und verdr�ngen die R�umlichkeit ihrer Konstruktionen.
Kenomische �berg�nge dagegen er�ffnen R�ume, sind Raum einr�umend und Zeiten er�ffnend. Kenogramme erm�glichen semiotische �berdeterminationen, Mehrzeitigkeit, Multiversen, Polyrythmie.
Polycontextural Computing versteht sich als eine (arithmetische bzw. semiotische) Interpretation der kenomischen Idee des Berechenbaren wie sie in der Kenogrammatik skizziert ist. Die Kenogramme sind die Inskriptionen der logisch-ontologischen Orte (des Denkens), die polykontexturalen Modelle des Berechenbaren sind formale Interpretationen der Kenogrammatik. Das klassische Modell des Berechenbaren ist zu verstehen als ein mono-kontexturales Paradigma verbunden mit Spekulationen seines Aussen, external functions", etwa im Sinne einer Einbeziehung der Orakel, jedoch nicht positiv als Umgebung, Einbettung und Nebenordnung. Jeder Ort, notiert als Kenogramm, verortet Poly-Events, eine Vielheit von Ereignissen, je nach der Komplexit�t ihrer Entstehung. Insofern versammelt jeder Ort, modelliert durch einen kenogrammatischen Graphen" eine Vielheit von differenten locations, poly-locations. Jede einzelne dieser locations hat intra-kontextural eine Topologie im klassischen Sinne, allerdings erg�nzt durch transjunktionale Operationen, die �berg�nge zu locations aus anderen Systemen definieren.
Es ist vorerst ausreichend mit homogenen Poly-Systemen zu arbeiten und diese auf zweielementige Wortarithmetiken zu beschr�nken, um die Idee des TransComputing als eines Gewebes rechnender R�ume zu explizieren. Homogene Poly-Systeme postulieren einen strengen Parallelismus der Begriffsbildung zwischen den einzelnen Systemen. D.h., auf jeder Ebene der Architektonik der Systeme gilt eine Parallelit�t in dem Sinne, dass die Begriffe kategorial miteinander �bereinstimmen. So entspricht etwa einer Nachfolgeroperation in einem System eine Nachfolgeroperation im benachbarten System. Homogene Poly-Systeme sind weitgehend isomorph bzgl. ihrer Definition und ihres Aufbaus.
Heterogene Poly-Systeme lassen eine vielf�ltige Verwebung von Begrifflichkeiten verschiedener Systeme zu, die nur schwach von Vermittlungsbedingungen eingeschr�nkt zu denken ist. So lassen sich etwa arithmetische mit logischen Systeme verschiedenster Definition, ob nun klassisch oder konstruktivistisch, usw. miteinander verschr�nken.
Mithilfe der technisch sehr einfachen Bin�rsysteme l�sst sich die Intuition einer Distribution und Vermittlung von bin�ren Zahlsystemen, fundiert in der Kenogrammatik der Trito-Stufe, plausibel machen.
In einem ersten Schritt m�ssen die Grundbegrifflichkeiten des klassischen Computings �ber die Kontexturen verteilt werden.
Im Beispiel handelt es sich hier um drei Kontexturen, eingef�hrt als drei arithmetische Bin�rsysteme. Durch die Vermittlung dreier Bin�rsysteme, abgebildet und fundiert in der Kenogrammatik, l�sst sich einsichtig machen, wie sp�ter eine Distribution von 3-synchronen, 3-sequentiellen, 3-zeitigen, 3-Events in 3-Computations an 3-locations zu denken und zu realisieren ist. Die Operationen dieser 3-kontexturalen Struktur sind kenogrammatisch als Iterationen eingef�hrt, w�rden Akkretionen zugelassen, w�rde die Komplexit�t des Systems entsprechend wachsen k�nnen.
Ein weiterer Schritt nach der Einf�hrung der drei-kontexturalen Nebenl�ufigkeit", besteht im Aufweis der transkontexturalen �berg�nge zwischen den Kontexturen der jeweiligen Berechenbarkeit, geleitet logisch-strukturell von transjunktionalen Operatoren. Damit wird der Metapher der Verwobenheit, gegenseitigen Durchdringung und des Gewebes entsprochen. Im Unterschied zu einem Netz, dessen F�den zusammenh�ngend sind, besteht ein Gewebe aus einer Vielzahl von abbrechenden F�den verschiedenster Art, deren Zusammenhang zu einem Ganzen einzig durch das Zusammenspiel von lokal/globaler Begrifflichkeiten geregelt ist. Des weiteren ist die Sprechweise der Dissemination bzw. der Vervielfachung der Anf�nge, hier der roots", aufzuzeigen. D.h. Bin�rsysteme sind in der Kenogrammatik �ber verschiedene Anf�nge distribuiert. Es gibt keinen ausgezeichneten Anfang f�r ein jeweiliges Bin�rsystem. Insofern ist eine Dekomposition des Gesamtgewebes in Bin�rsysteme nicht trivial. An jedem Ort ausserhalb eines jeweiligen Bin�rsystems kann ein Anfang f�r ein fremdes", d.h. ein radikal anderes" Bin�rsystem gefunden werden.
In trans-computationalen Systemen gibt es eine Vielheit von gleichen und selbigen Systemen, die �berg�nge verschiedenster Urspr�nge realisieren und die in verschiedenen Emanationen eingebettet sind.
In einem klassischen bin�ren System geh�rt jeder bin�re Teilgraph als Teil zum System. M.a.W., ein Teilsystem l�sst sich nicht von anderen Teilsystemen absondern oder isolieren. Deswegen nicht, weil es letztlich einen mit anderen Teilsystemen gemeinsamen Anfang hat. Diese Aussage bezieht sich auf die prinzipielle mathematische Struktur der B�ume und besagt, dass Teilb�ume keine eigene prinzipielle Bedeutung haben, sondern als Teilgraphen dem Gesamtgraphen konzeptionell zugeordnet sind.
Genau diese Eigenschaft, dass es formal nur einen Bin�rbaum gibt, erm�glicht andererseits seine Dekomposition in Teilgraphen. Und umgekehrt die Komposition der Teilgraphen zum Gesamtgraphen. Diese Symmetrie von Komposition und Dekomposition ist die Bedingung der M�glichkeit der Modularisierung. Modularit�t ist nur m�glich in Systemen, deren Komposition und Dekomposition symmetrisch ist.
In polykontexturalen Systemen gibt es eine Vielheit selbiger und gleicher, doch nicht identischer Teilsysteme, die sich nicht unter einen gemeinsamen bin�ren Anfang subsumieren lassen. Polykontexturale Systeme sind nicht nur durch das Zugleichbestehen, d.h. der Vermittlung von Kontexturen bestimmt, sondern auch durch die Operatoren der transkontexturalen �berg�nge, der Transjunktionen und der Bifurkationen" verschiedenster Komplexit�t.
Der historische Ursprung dieses Blattes liegt darin, eine Distribution arithmetischer Systeme auch f�r die Trito-Struktur der Kenogrammatik vorzunehmen. Eine Explikation des Beispiel-Blattes soll daher vorerst einzig zeigen, dass eine Belegung von Kenogrammen durch Zahlen, Natural Numbers in Transclassic Systems" G�nther 1969, eine Deutung dieser als Vermittlungssysteme auch f�r die Trito-Struktur der Kenogrammatik erlaubt. Bisdahin gelang dies nur f�r die Proto- und Deutero-Struktur der Kenogrammatik.
Desweiteren wird anhand des Beispiel-Blattes jedoch zus�tzlich zum Aufweis des heterarchischen Charakters auch der Trito-Zahlen, eine Reihe von grundlegenden Begriffen einer transklassischen Arithmetik exemplarisch eingef�hrt.
Die Zahlen lassen sich als Elemente verschiedener Bin�rsystemen interpretieren. Eine einzelne Zahl bzw. Ziffer vereinigt in sich verschiedene zueinander diskontexturale Systeme an einem Ort, markiert als Kenogramm. Damit ist gezeigt, dass ein Ort Ortschaft f�r eine Vielheit von Ereignissen" sein kann. Kenogramme erm�glichen fundamentale �berdetermination. Ein Ort fundiert damit die polykontexturale Kategorie der poly-Events. Als Konsequenz daraus wird gezeigt, dass, entgegen der Suggestion, der Graph zyklische bzw. kommutative Eigenschaften hat. M.a.W., der Weg hin muss nicht der Weg her" sein. Die Inversion von Funktionen muss nicht identitiv definiert werden.
Bekanntlich hat Gotthard G�nther zu dieser Thematik der Heterarchie, Zyklizit�t, Distribuiertheit von Begriffspyramiden, hier: Bin�rsysteme genannt, seit seinen Numbers in Transclassisc Systems" in immer neuen Ans�tzen interessante und bahnbrechende Ideen entwickelt. Alle diese fragmentarischen Entw�rfe basieren weitgehend auf einer Interpretation der Proto-Struktur der Kenogrammatik. Die arithmetischen Gesetze der Proto-Struktur sind kommutativ, distributiv und assoziativ. Ihre Gesetze sind schon fr�h von Dieter Schadach (1966/67) formuliert worden.
Im Gegensatz zur Trito-Struktur, ist der Graph der Proto-Struktur ganz offensichtlich kommutativ. Es ist suggestiv, diesen kommutativen Graphen f�r dialektische bzw. polykontexturale �berlegungen zu benutzen.
Einmal ist die Proto-Struktur im Gegensatz zur Platonischen Pyramide nicht hierarchisch. Dies er�ffnet eine Vielfalt von Interpretationen. Des weiteren, und dies ist schon nicht mehr trivial, lassen sich Platonische Begriffspyramiden �ber der Proto-Struktur verteilen. Womit eine interessante Konstruktion f�r Parallelverl�ufe, �berlagerungen, Separiertheiten von Begriffssystemen erm�glicht wird. Dies kann eine Anschlussm�glichkeit f�r die Entwicklung einer polykontexturalen Diagrammatik (Sowa, Wille) betrachtet werden.
Schon auf der Ebene der Proto-Struktur, lassen sich Sprechweisen, wie Vielheiten der Anf�nge", Erspringung neuer Anf�nge" im Sinne eines Entwurfs bzw. einer Generierung neuer Begriffssysteme, Spr�nge zwischen inkommensurablen Begriffssystemen" usw. einf�hren und sind, wie etwa die Idee des transkontexturalen �bergangs", von G�nther konzipiert worden.
Dass sich solche Konstruktionen auch f�r die Deutero-Struktur der Kenogrammatik vollziehen lassen, ist offensichtlich und bedarf bloss einiger Konstruktionsarbeit. Beide, die Proto- wie die Deutero-Struktur suggerieren durch ihren Graphen die Kommutativit�t als Basis dieser kybernetischen, d.h. computerwissenschaftlichen und philosophischen �berlegungen.
Anders ist die Situation bei dem Graphen der Trito-Struktur der Kenogrammatik. Eine Verteilung von Bin�rsystemen �ber einen hierarchisch strukturierten zyklenfreien Graphen, d.h. �ber einen Baum, bestehend aus einer einzigen Wurzel (root) und seinen eindeutigen Zweigen und Knoten (nodes), mit dem Ziel Heterarchien und Kommutativit�ten zu generieren, scheint schon weit weniger suggestiv zu sein. Nicht ganz zuf�llig ist eine solche Konstruktion weder von G�nther noch von anderen versucht worden.
Das erste Ziel der Konstruktion von Blatt-3 war es, die L�cke zwischen der Interpretation der Proto- und der Tritostruktur zu schliessen. Das Blatt stammt wohl aus dem Jahre 1992.#######
Es wird ein Wechselspiel von partiellen und totalen Funktionen inszeniert. Hier geschieht dies rein exemplarisch, ohne den entsprechenden mathematischen Apparat. Es handelt sich um die Konstruktion der Zerlegung (Dekomposition) von totalen Funktionen in partielle und invers die Verkn�pfung (Vermittlung) von partiellen Funktionen zu totalen. Dieser Mechanismus ist, mathematisch betrachtet, nicht so einfach wie es im Beispiel den Anschein hat.
Die semiotische Voraussetzung dieses Mechanismus der Zerlegung und Verkn�pfung liegt in der kenogrammatischen M�glichkeit der �berdetermination der arithmetischen Interpretation der Kenogramme. M.a.W., die M�glichkeit der poly-Events kenogrammatischer Orte, er�ffnet eine polykontexturale Interpretation arithmetisch-semiotischer Ereignisse im Wechselspiel von totalen und partiellen Funktionen.
Die Zerlegung einer totalen Funktion ist eine Deutung dieser. Deutungen sind Interaktionen. Die Ambiguit�t von Ereignislosen ist ein Resultat verschiedener Interaktionen. Je nach der Interaktion lassen sich Keno-Zahlen in verschiedene Teile zerlegen, dies jedoch nicht willk�rlich, sondern in Kooperation mit der zu zerlegenden Ereignisfolge.
I. Genese: Konstruktion, Graph (Baum),...der Trito-Zahl bzw. PK-Zahl
Sukzession, Sprung, Vermittlung
II. PK-Zahl, arithmetischer Wert der PK-Zahl
- Simultaneit�t der verschiedenen Subsystem Zahlenwerte
Wie? Wert (011*****100)=(0111100)?
a) intra-kontexturaler simultaner Ablauf
b) trans-kontexturaler sukzessiver Ablauf je Zahl
- Beginn, Anfang der Zahl bestimmt die Subsystemzugeh�rigkeit bzw. Subsystemzugeh�rigkeit je Zahl bestimmt Zahl=Entwicklung der Zahl geht dann nach a) intra- oder b) trans-
- Zahl�quivalenz, Iso zwischen Si, Sj: Beispiel: (01011)=T (12122)
- Selbstapplikation a) intra Si ---Si; b) trans: Si---Sj bzgl.
gleich" selbig" (erzeugt keinen Widerspruch)Die als Trito-Zahl notierte Ereignisfolge TZ im Gewebe dreier Bin�rsysteme S1, S2 und S3 mit den 3 Elementen {0, 1, 2}. Je 2 Elemente definieren ein Bin�rsystem.
l�sst mindestens zwei Deutungen zu:
a) 011/12/202/211/100/02 mit der Systemfolge: S1S2S3S2S1S3
b) 011/112/202/211/1100/002 mit Systemfolge: S1S2S3S2S1S3
Hier ist zwar die Subsystemfolge der beiden Aufl�sungen die gleiche, die Aufl�sungen selbst sind jedoch verschieden in ihrer jeweiligen L�nge.
Die Trito-Zahl TZ= (0112000211002)
l�sst Deutungen zu, die sowohl die Subsystemfolge als auch die L�nge der Subsystemfolgen betreffen.
01/12/20/000/02/211/100/02 mit S1S2S3S1S3S2S1S3, l=8
01/12/200002/211/100/02 mit S1S2S3S2S1S3, l=6
Damit ist der Knoten, den die ungedeutete Zahl, auf dem Graphen der Tritogramme einnimmt, zumindest doppeldeutig. Dies besagt, dass diese Trito-Zahl zwei verschiedenen Zahlensystemen angeh�rt bzw. zwei verschiedene Zahlensysteme prinzipiell durch diese fundiert werden k�nnen. Dadurch ist nun die M�glichkeit er�ffnet, dass der Weg hin nicht identisch dem Weg her sein muss. Es lassen sich verschiedene Wege finden und damit auch zyklische Wege bzw. kommutative Wege konstruieren. Diese Zyklizit�t ist nicht durch einfache Selbstbez�glichkeit definiert, sondern entsteht durch eine Folge von Systemwechseln, die chiastisch fundiert sind und befindet sich damit ausserhalb des Bereichs monokontextural generierter Antinomien.
Die Einschr�nkung der Computations auf azyklische Ereignisfolgen im Sinne des klassischen Modells ist hiermit aufgehoben. Diese gilt nach wie vor intra-kontextural f�r jedes einzelne Computational System isoliert bzw. lokal betrachtet, jedoch nicht mehr f�r das Gesamtsystem, global betrachtet, verstanden als Vermittlung (Gewebe) verschiedener klassischer Systeme der Berechnung.
Kann es L�cken, Risse, Amnesien in formalen Systemen oder gar in der grunds�tzlichen Konzeption der Nat�rlichen Zahlen geben? Was soll mit den L�cken eines Zahlsystems geschehen? Wie k�nnen diese gez�hlt werden? Mit welchem Konzept und System des Arithmetischen?
Wie wird die Kardinalit�t bzw. Ordinalit�t einer Zahl bestehend aus Teilzahlen und L�cken bestimmt? Muss zum Leerzeichen der Semiotik, oder der Null des arithmetischen Positionalit�tssystem ein neues "Nicht-Zeichen" hinzugenommen werden, das weder Zeichen noch Leerzeichen ist? Sondern eben L�ckenzeichen"? Welche philosophische und meta-mathematische Bedeutung haben L�cken? Die Relevanz der Frage zeigt sich in der kontrastiven Spiegelung durch G�nthers Statement aus Cybernetic Ontology (1962).
"The law which we applied was the principle of numerical induction; and although nobody has ever counted up to 101000, or ever will, we know perfectly well that it would be the height of absurdity to assume that our law will stop being valid at the quoted number and start working again at 1010000.
We know this with absolute certainity because we are aware of the fact that the principle of induction is nothing but an expression of the reflective procedure our consciousness employs in order to become aware of a sequence of numbers. The breaking down of the law even for one single number out of the infinity would mean there is no numerical consciousness at all!" Gotthard Gunther, Cybernetic Ontology, p. 360
Diese Aussage wird wohl auch heute noch von der Mehrheit der Matematiker geteilt. Auch dann, wenn sie die Ankopplung an eine Reflexionstheorie nicht teilen bzw. nicht mitreflektieren. Die wenigen Ausnahmen sind die Ultra-Intuitionisten und - G�nther selbst. Leider hat er die Reflexionen der Konsequenzen seines Ansatzes einer polykontexturalen Arithmetik f�r das Induktionsprinzip nicht publiziert.
Hirnrisse. Wer braucht die Einheit eines Bewusstseins als enheitsstiftende Funktion der Rationalit�t? Wer hat Angst vor Spr�ngen?
Das Basisalphabet bzw. die Signatur einer polykontexturalen Arithmetik besteht somit aus drei sehr verschiedenen Kategorien von Zeichen bzw. Marken: Zahlzeichen, Leerzeichen und L�ckenzeichen je Kontextur.
Angesichts der H�lleneigenschaften von Zahlensystemen, stellt sich die Frage, wohin soll gesprungen werden? Spr�nge bedeuten hier nicht, dass von der Zahl n zu einer beliebigen anderen Zahl m innerhalb des Zahlensystems gesprungen werden k�nnen soll, sondern es gilt der wilde Anspruch eines Sprunges bzw. Satzes aus dem Regelsatzes, hier der Regeln der Nachfolgeroperation. Mit der Reihe der Schritte verwoben ist die Folge von Spr�ngen.
Spr�nge heissen bei G�nther transkontexturale �berschreitungen". Solche �berg�nge sind nicht einfach Transitionen einer �bergangsfunktion, sondern geregelte Spr�nge von einer intra-kontexturalen Situation einer gegebenen Kontextur in eine andere Nachbar-Kontextur innerhalb einer Verbund-Kontextur. Sie sind somit immer doppelt definiert als Schritt intra-kontextural und als Sprung transkontextural. Auf die Kenogrammatik der Proto-Struktur mit ihrer Iteration und Akkretion bezogen betont G�nther:
"Eine trans-kontexturale �berscheitung hat aber immer nur dann stattgefunden, wenn der �bergang von einem kontexturalen Zusammenhang zum n�chsten sowohl iterativ wie akkretiv erfolgt." G�nther, Bd. II, S. 275
Eine Folge "000121121" kann auch so verstanden werden, dass der Kopf "000" den Ort angibt, an dem die 1/2-Folge startet.
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