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Towards a General Model of Polycontextural Computation
Die klassische Konzeption des Berechenbaren und Machinalen wie sie in grosser Allgemeinheit von Leonid Levin skizziert wurde, setzt offensichtlich zwei fundamentale Kategorien voraus: Raum und Zeit. Beide sind jedoch in einem genuin semiotischen bzw. machinalen Sinne (Länge einer Berechnung, Grösse der Konfiguration) verstanden und nur indirekt, etwa bei Komplexitätsüberlegungen, verbunden mit dem Raum- und Zeitbegriff der Philosophie und der Physik. Ein transklassischer Entwurf des Machinalen hat somit gar keine andere Wahl als sich jenseits von Raum und Zeit zu definieren will er seine Eigenständigkeit realisieren. In diesem Sinne ist das kenomische Modell des Berechenbaren elementarer, wenn auch vielleicht nicht gerade einfacher (zu verstehen).
In den vorangehenden Kapiteln wurde gezeigt, dass sich die kenogrammatische Äquivalenz unabhängig von der semiotischen Äquivalenz Einführen lässt. Die allgemeinste Definition von Raum und Zeit liefert die Semiotik. Aufgrund des Identitätsprinzips ihrer Zeichen gilt, dass zwei Zeichen nicht zugleich den selben Ort (Kästchen) einnehmen können. Zwei Zeichen sind entweder identisch oder divers. Damit diese Unterscheidung funktioniert, müssen Zeichen separierbar sein. Sie müssen unterschiedliche Orte einnehmen können. Identifizierbarkeit und Separierbarkeit haben einen semiotischen Raum zur Voraussetzung. Eine Überdetermination von Zeichen(vorkommnissen), wie etwa in der Konkreten Poesie, ist ausgeschlossen. Zeichen erscheinen nacheinander, nicht übereinander. Sie sind durch die Verknüpfungsoperation miteinander verbunden, d.h. aneinander gereiht. Diese Reihung, Zeichenreihengestalt, bestimmt ihre Temporalität. Der Zeichenfluss ist in der Zeit. Zeichen setzen Raum und Zeit voraus. Sie zeitigen und raumen nicht. Diese Argumentation gilt sowohl für die konstruktivistischen wie für die platonistische Auffassung der Semiotik. Wobei die Platonisten auf den Raum der semiotischen Relationalität setzen und die Zeitlichkeit ihrer Axiomatiken verdrängen, dagegen setzen die Konstruktivisten auf die Zeitstruktur ihrer semiotischen Operationen und verdrängen die Räumlichkeit ihrer Konstruktionen.
Kenomische Übergänge dagegen eröffnen Räume, sind Raum einräumend und Zeiten eröffnend. Kenogramme ermöglichen semiotische Überdeterminationen, Mehrzeitigkeit, Multiversen, Polyrythmie.
Polycontextural Computing versteht sich als eine (arithmetische bzw. semiotische) Interpretation der kenomischen Idee des Berechenbaren wie sie in der Kenogrammatik skizziert ist. Die Kenogramme sind die Inskriptionen der logisch-ontologischen Orte (des Denkens), die polykontexturalen Modelle des Berechenbaren sind formale Interpretationen der Kenogrammatik. Das klassische Modell des Berechenbaren ist zu verstehen als ein mono-kontexturales Paradigma verbunden mit Spekulationen seines Aussen, external functions", etwa im Sinne einer Einbeziehung der Orakel, jedoch nicht positiv als Umgebung, Einbettung und Nebenordnung. Jeder Ort, notiert als Kenogramm, verortet Poly-Events, eine Vielheit von Ereignissen, je nach der Komplexität ihrer Entstehung. Insofern versammelt jeder Ort, modelliert durch einen kenogrammatischen Graphen" eine Vielheit von differenten locations, poly-locations. Jede einzelne dieser locations hat intra-kontextural eine Topologie im klassischen Sinne, allerdings ergänzt durch transjunktionale Operationen, die Übergänge zu locations aus anderen Systemen definieren.
Es ist vorerst ausreichend mit homogenen Poly-Systemen zu arbeiten und diese auf zweielementige Wortarithmetiken zu beschränken, um die Idee des TransComputing als eines Gewebes rechnender Räume zu explizieren. Homogene Poly-Systeme postulieren einen strengen Parallelismus der Begriffsbildung zwischen den einzelnen Systemen. D.h., auf jeder Ebene der Architektonik der Systeme gilt eine Parallelität in dem Sinne, dass die Begriffe kategorial miteinander übereinstimmen. So entspricht etwa einer Nachfolgeroperation in einem System eine Nachfolgeroperation im benachbarten System. Homogene Poly-Systeme sind weitgehend isomorph bzgl. ihrer Definition und ihres Aufbaus.
Heterogene Poly-Systeme lassen eine vielfältige Verwebung von Begrifflichkeiten verschiedener Systeme zu, die nur schwach von Vermittlungsbedingungen eingeschränkt zu denken ist. So lassen sich etwa arithmetische mit logischen Systeme verschiedenster Definition, ob nun klassisch oder konstruktivistisch, usw. miteinander verschränken.
Mithilfe der technisch sehr einfachen Binärsysteme lässt sich die Intuition einer Distribution und Vermittlung von binären Zahlsystemen, fundiert in der Kenogrammatik der Trito-Stufe, plausibel machen.
In einem ersten Schritt müssen die Grundbegrifflichkeiten des klassischen Computings über die Kontexturen verteilt werden.
Im Beispiel handelt es sich hier um drei Kontexturen, eingeführt als drei arithmetische Binärsysteme. Durch die Vermittlung dreier Binärsysteme, abgebildet und fundiert in der Kenogrammatik, lässt sich einsichtig machen, wie später eine Distribution von 3-synchronen, 3-sequentiellen, 3-zeitigen, 3-Events in 3-Computations an 3-locations zu denken und zu realisieren ist. Die Operationen dieser 3-kontexturalen Struktur sind kenogrammatisch als Iterationen eingeführt, würden Akkretionen zugelassen, würde die Komplexität des Systems entsprechend wachsen können.
Ein weiterer Schritt nach der Einführung der drei-kontexturalen Nebenläufigkeit", besteht im Aufweis der transkontexturalen Übergänge zwischen den Kontexturen der jeweiligen Berechenbarkeit, geleitet logisch-strukturell von transjunktionalen Operatoren. Damit wird der Metapher der Verwobenheit, gegenseitigen Durchdringung und des Gewebes entsprochen. Im Unterschied zu einem Netz, dessen Fäden zusammenhängend sind, besteht ein Gewebe aus einer Vielzahl von abbrechenden Fäden verschiedenster Art, deren Zusammenhang zu einem Ganzen einzig durch das Zusammenspiel von lokal/globaler Begrifflichkeiten geregelt ist. Des weiteren ist die Sprechweise der Dissemination bzw. der Vervielfachung der Anfänge, hier der roots", aufzuzeigen. D.h. Binärsysteme sind in der Kenogrammatik über verschiedene Anfänge distribuiert. Es gibt keinen ausgezeichneten Anfang für ein jeweiliges Binärsystem. Insofern ist eine Dekomposition des Gesamtgewebes in Binärsysteme nicht trivial. An jedem Ort ausserhalb eines jeweiligen Binärsystems kann ein Anfang für ein fremdes", d.h. ein radikal anderes" Binärsystem gefunden werden.
In trans-computationalen Systemen gibt es eine Vielheit von gleichen und selbigen Systemen, die Übergänge verschiedenster Ursprünge realisieren und die in verschiedenen Emanationen eingebettet sind.
In einem klassischen binären System gehört jeder binäre Teilgraph als Teil zum System. M.a.W., ein Teilsystem lässt sich nicht von anderen Teilsystemen absondern oder isolieren. Deswegen nicht, weil es letztlich einen mit anderen Teilsystemen gemeinsamen Anfang hat. Diese Aussage bezieht sich auf die prinzipielle mathematische Struktur der Bäume und besagt, dass Teilbäume keine eigene prinzipielle Bedeutung haben, sondern als Teilgraphen dem Gesamtgraphen konzeptionell zugeordnet sind.
Genau diese Eigenschaft, dass es formal nur einen Binärbaum gibt, ermöglicht andererseits seine Dekomposition in Teilgraphen. Und umgekehrt die Komposition der Teilgraphen zum Gesamtgraphen. Diese Symmetrie von Komposition und Dekomposition ist die Bedingung der Möglichkeit der Modularisierung. Modularität ist nur möglich in Systemen, deren Komposition und Dekomposition symmetrisch ist.
In polykontexturalen Systemen gibt es eine Vielheit selbiger und gleicher, doch nicht identischer Teilsysteme, die sich nicht unter einen gemeinsamen binären Anfang subsumieren lassen. Polykontexturale Systeme sind nicht nur durch das Zugleichbestehen, d.h. der Vermittlung von Kontexturen bestimmt, sondern auch durch die Operatoren der transkontexturalen Übergänge, der Transjunktionen und der Bifurkationen" verschiedenster Komplexität.
Der historische Ursprung dieses Blattes liegt darin, eine Distribution arithmetischer Systeme auch für die Trito-Struktur der Kenogrammatik vorzunehmen. Eine Explikation des Beispiel-Blattes soll daher vorerst einzig zeigen, dass eine Belegung von Kenogrammen durch Zahlen, Natural Numbers in Transclassic Systems" Günther 1969, eine Deutung dieser als Vermittlungssysteme auch für die Trito-Struktur der Kenogrammatik erlaubt. Bisdahin gelang dies nur für die Proto- und Deutero-Struktur der Kenogrammatik.
Desweiteren wird anhand des Beispiel-Blattes jedoch zusätzlich zum Aufweis des heterarchischen Charakters auch der Trito-Zahlen, eine Reihe von grundlegenden Begriffen einer transklassischen Arithmetik exemplarisch eingeführt.
Die Zahlen lassen sich als Elemente verschiedener Binärsystemen interpretieren. Eine einzelne Zahl bzw. Ziffer vereinigt in sich verschiedene zueinander diskontexturale Systeme an einem Ort, markiert als Kenogramm. Damit ist gezeigt, dass ein Ort Ortschaft für eine Vielheit von Ereignissen" sein kann. Kenogramme ermöglichen fundamentale Überdetermination. Ein Ort fundiert damit die polykontexturale Kategorie der poly-Events. Als Konsequenz daraus wird gezeigt, dass, entgegen der Suggestion, der Graph zyklische bzw. kommutative Eigenschaften hat. M.a.W., der Weg hin muss nicht der Weg her" sein. Die Inversion von Funktionen muss nicht identitiv definiert werden.
Bekanntlich hat Gotthard Günther zu dieser Thematik der Heterarchie, Zyklizität, Distribuiertheit von Begriffspyramiden, hier: Binärsysteme genannt, seit seinen Numbers in Transclassisc Systems" in immer neuen Ansätzen interessante und bahnbrechende Ideen entwickelt. Alle diese fragmentarischen Entwürfe basieren weitgehend auf einer Interpretation der Proto-Struktur der Kenogrammatik. Die arithmetischen Gesetze der Proto-Struktur sind kommutativ, distributiv und assoziativ. Ihre Gesetze sind schon früh von Dieter Schadach (1966/67) formuliert worden.
Im Gegensatz zur Trito-Struktur, ist der Graph der Proto-Struktur ganz offensichtlich kommutativ. Es ist suggestiv, diesen kommutativen Graphen für dialektische bzw. polykontexturale Überlegungen zu benutzen.
Einmal ist die Proto-Struktur im Gegensatz zur Platonischen Pyramide nicht hierarchisch. Dies eröffnet eine Vielfalt von Interpretationen. Des weiteren, und dies ist schon nicht mehr trivial, lassen sich Platonische Begriffspyramiden über der Proto-Struktur verteilen. Womit eine interessante Konstruktion für Parallelverläufe, Überlagerungen, Separiertheiten von Begriffssystemen ermöglicht wird. Dies kann eine Anschlussmöglichkeit für die Entwicklung einer polykontexturalen Diagrammatik (Sowa, Wille) betrachtet werden.
Schon auf der Ebene der Proto-Struktur, lassen sich Sprechweisen, wie Vielheiten der Anfänge", Erspringung neuer Anfänge" im Sinne eines Entwurfs bzw. einer Generierung neuer Begriffssysteme, Sprünge zwischen inkommensurablen Begriffssystemen" usw. einführen und sind, wie etwa die Idee des transkontexturalen Übergangs", von Günther konzipiert worden.
Dass sich solche Konstruktionen auch für die Deutero-Struktur der Kenogrammatik vollziehen lassen, ist offensichtlich und bedarf bloss einiger Konstruktionsarbeit. Beide, die Proto- wie die Deutero-Struktur suggerieren durch ihren Graphen die Kommutativität als Basis dieser kybernetischen, d.h. computerwissenschaftlichen und philosophischen Überlegungen.
Anders ist die Situation bei dem Graphen der Trito-Struktur der Kenogrammatik. Eine Verteilung von Binärsystemen über einen hierarchisch strukturierten zyklenfreien Graphen, d.h. über einen Baum, bestehend aus einer einzigen Wurzel (root) und seinen eindeutigen Zweigen und Knoten (nodes), mit dem Ziel Heterarchien und Kommutativitäten zu generieren, scheint schon weit weniger suggestiv zu sein. Nicht ganz zufällig ist eine solche Konstruktion weder von Günther noch von anderen versucht worden.
Das erste Ziel der Konstruktion von Blatt-3 war es, die Lücke zwischen der Interpretation der Proto- und der Tritostruktur zu schliessen. Das Blatt stammt wohl aus dem Jahre 1992.#######
Es wird ein Wechselspiel von partiellen und totalen Funktionen inszeniert. Hier geschieht dies rein exemplarisch, ohne den entsprechenden mathematischen Apparat. Es handelt sich um die Konstruktion der Zerlegung (Dekomposition) von totalen Funktionen in partielle und invers die Verknüpfung (Vermittlung) von partiellen Funktionen zu totalen. Dieser Mechanismus ist, mathematisch betrachtet, nicht so einfach wie es im Beispiel den Anschein hat.
Die semiotische Voraussetzung dieses Mechanismus der Zerlegung und Verknüpfung liegt in der kenogrammatischen Möglichkeit der Überdetermination der arithmetischen Interpretation der Kenogramme. M.a.W., die Möglichkeit der poly-Events kenogrammatischer Orte, eröffnet eine polykontexturale Interpretation arithmetisch-semiotischer Ereignisse im Wechselspiel von totalen und partiellen Funktionen.
Die Zerlegung einer totalen Funktion ist eine Deutung dieser. Deutungen sind Interaktionen. Die Ambiguität von Ereignislosen ist ein Resultat verschiedener Interaktionen. Je nach der Interaktion lassen sich Keno-Zahlen in verschiedene Teile zerlegen, dies jedoch nicht willkürlich, sondern in Kooperation mit der zu zerlegenden Ereignisfolge.
I. Genese: Konstruktion, Graph (Baum),...der Trito-Zahl bzw. PK-Zahl
Sukzession, Sprung, Vermittlung
II. PK-Zahl, arithmetischer Wert der PK-Zahl
- Simultaneität der verschiedenen Subsystem Zahlenwerte
Wie? Wert (011*****100)=(0111100)?
a) intra-kontexturaler simultaner Ablauf
b) trans-kontexturaler sukzessiver Ablauf je Zahl
- Beginn, Anfang der Zahl bestimmt die Subsystemzugehörigkeit bzw. Subsystemzugehörigkeit je Zahl bestimmt Zahl=Entwicklung der Zahl geht dann nach a) intra- oder b) trans-
- Zahläquivalenz, Iso zwischen Si, Sj: Beispiel: (01011)=T (12122)
- Selbstapplikation a) intra Si ---Si; b) trans: Si---Sj bzgl.
gleich" selbig" (erzeugt keinen Widerspruch)Die als Trito-Zahl notierte Ereignisfolge TZ im Gewebe dreier Binärsysteme S1, S2 und S3 mit den 3 Elementen {0, 1, 2}. Je 2 Elemente definieren ein Binärsystem.
lässt mindestens zwei Deutungen zu:
a) 011/12/202/211/100/02 mit der Systemfolge: S1S2S3S2S1S3
b) 011/112/202/211/1100/002 mit Systemfolge: S1S2S3S2S1S3
Hier ist zwar die Subsystemfolge der beiden Auflösungen die gleiche, die Auflösungen selbst sind jedoch verschieden in ihrer jeweiligen Länge.
Die Trito-Zahl TZ= (0112000211002)
lässt Deutungen zu, die sowohl die Subsystemfolge als auch die Länge der Subsystemfolgen betreffen.
01/12/20/000/02/211/100/02 mit S1S2S3S1S3S2S1S3, l=8
01/12/200002/211/100/02 mit S1S2S3S2S1S3, l=6
Damit ist der Knoten, den die ungedeutete Zahl, auf dem Graphen der Tritogramme einnimmt, zumindest doppeldeutig. Dies besagt, dass diese Trito-Zahl zwei verschiedenen Zahlensystemen angehört bzw. zwei verschiedene Zahlensysteme prinzipiell durch diese fundiert werden können. Dadurch ist nun die Möglichkeit eröffnet, dass der Weg hin nicht identisch dem Weg her sein muss. Es lassen sich verschiedene Wege finden und damit auch zyklische Wege bzw. kommutative Wege konstruieren. Diese Zyklizität ist nicht durch einfache Selbstbezüglichkeit definiert, sondern entsteht durch eine Folge von Systemwechseln, die chiastisch fundiert sind und befindet sich damit ausserhalb des Bereichs monokontextural generierter Antinomien.
Die Einschränkung der Computations auf azyklische Ereignisfolgen im Sinne des klassischen Modells ist hiermit aufgehoben. Diese gilt nach wie vor intra-kontextural für jedes einzelne Computational System isoliert bzw. lokal betrachtet, jedoch nicht mehr für das Gesamtsystem, global betrachtet, verstanden als Vermittlung (Gewebe) verschiedener klassischer Systeme der Berechnung.
Kann es Lücken, Risse, Amnesien in formalen Systemen oder gar in der grundsätzlichen Konzeption der Natürlichen Zahlen geben? Was soll mit den Lücken eines Zahlsystems geschehen? Wie können diese gezählt werden? Mit welchem Konzept und System des Arithmetischen?
Wie wird die Kardinalität bzw. Ordinalität einer Zahl bestehend aus Teilzahlen und Lücken bestimmt? Muss zum Leerzeichen der Semiotik, oder der Null des arithmetischen Positionalitätssystem ein neues "Nicht-Zeichen" hinzugenommen werden, das weder Zeichen noch Leerzeichen ist? Sondern eben Lückenzeichen"? Welche philosophische und meta-mathematische Bedeutung haben Lücken? Die Relevanz der Frage zeigt sich in der kontrastiven Spiegelung durch Günthers Statement aus Cybernetic Ontology (1962).
"The law which we applied was the principle of numerical induction; and although nobody has ever counted up to 101000, or ever will, we know perfectly well that it would be the height of absurdity to assume that our law will stop being valid at the quoted number and start working again at 1010000.
We know this with absolute certainity because we are aware of the fact that the principle of induction is nothing but an expression of the reflective procedure our consciousness employs in order to become aware of a sequence of numbers. The breaking down of the law even for one single number out of the infinity would mean there is no numerical consciousness at all!" Gotthard Gunther, Cybernetic Ontology, p. 360
Diese Aussage wird wohl auch heute noch von der Mehrheit der Matematiker geteilt. Auch dann, wenn sie die Ankopplung an eine Reflexionstheorie nicht teilen bzw. nicht mitreflektieren. Die wenigen Ausnahmen sind die Ultra-Intuitionisten und - Günther selbst. Leider hat er die Reflexionen der Konsequenzen seines Ansatzes einer polykontexturalen Arithmetik für das Induktionsprinzip nicht publiziert.
Hirnrisse. Wer braucht die Einheit eines Bewusstseins als enheitsstiftende Funktion der Rationalität? Wer hat Angst vor Sprüngen?
Das Basisalphabet bzw. die Signatur einer polykontexturalen Arithmetik besteht somit aus drei sehr verschiedenen Kategorien von Zeichen bzw. Marken: Zahlzeichen, Leerzeichen und Lückenzeichen je Kontextur.
Angesichts der Hülleneigenschaften von Zahlensystemen, stellt sich die Frage, wohin soll gesprungen werden? Sprünge bedeuten hier nicht, dass von der Zahl n zu einer beliebigen anderen Zahl m innerhalb des Zahlensystems gesprungen werden können soll, sondern es gilt der wilde Anspruch eines Sprunges bzw. Satzes aus dem Regelsatzes, hier der Regeln der Nachfolgeroperation. Mit der Reihe der Schritte verwoben ist die Folge von Sprüngen.
Sprünge heissen bei Günther transkontexturale Überschreitungen". Solche Übergänge sind nicht einfach Transitionen einer Übergangsfunktion, sondern geregelte Sprünge von einer intra-kontexturalen Situation einer gegebenen Kontextur in eine andere Nachbar-Kontextur innerhalb einer Verbund-Kontextur. Sie sind somit immer doppelt definiert als Schritt intra-kontextural und als Sprung transkontextural. Auf die Kenogrammatik der Proto-Struktur mit ihrer Iteration und Akkretion bezogen betont Günther:
"Eine trans-kontexturale Überscheitung hat aber immer nur dann stattgefunden, wenn der Übergang von einem kontexturalen Zusammenhang zum nächsten sowohl iterativ wie akkretiv erfolgt." Günther, Bd. II, S. 275
Eine Folge "000121121" kann auch so verstanden werden, dass der Kopf "000" den Ort angibt, an dem die 1/2-Folge startet.
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