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Strukturationen der Spr�nge zwischen rechnenden R�umen
Transkontexturale �berg�nge sind chiastischer Natur. Doch wie entstehen sie? Oft wird dieser mit einem Umschlag von Quantit�t in Qualit�t unter Berufung auf Hegel beschrieben. Gewiss m�gen sog. ultra-astronomische Zahlen eher Qualit�ten, denn echte, d.h. abz�hlbare Quantit�ten darstellen. Wegen der H�lleneigenschaft arithmetischer Systeme, f�hrt in diesen allerdings kein Weg aus der Kontextur der Zahlen heraus, m�gen diese noch so gross sein. Kontexturwechsel haben so gesehen mit Quantit�ten nichts zu tun. Jede beliebige Zahl wird schrittweise aus ihren Vorg�ngerzahlen erzeugt. Zu jeder beliebigen Zahl n gibt es eine Nachfolgerzahl n+1. Keiner dieser Z�hlschritte eines arithmetischen Systems wird je aus dem Bereich der nat�rlichen Zahlen hinausf�hren. Noch wird es f�r irgend zwei Zahlen eine L�cke, eine Abgrund zwischen ihnen geben. Ein Kontexturwechsel ist im Spiel der Metapher des Schrittes nicht zu vollziehen. Der Schritt muss durch einen Sprung �bersprungen werden, soll ein Kontexturwechsel m�glich werden.
Kontexturwechsel werden bei G�nther als transkontexturale �berg�nge eingef�hrt. Danach ist ein transkontexturaler �bergang nur dann vollzogen, wenn an ihm sowohl iterative wie akkretive Schritte beteiligt sind. Ein Kontexturwechsel ist chiastisch dann, wenn er in seiner Gegenl�ufigkeit beschrieben wird als Weg-hin und Weg-her.
Ein linguistischer bzw. reflexionslogischer Operator f�r Kontexturwechsel ist die als-Funktion wie sie auch bei der Evokation von Neuem im Spiel ist. Etwas als etwas anderes zu thematisieren, heisst dieses Etwas in einer anderen Kontextur zu setzen.
Der Chiasmus als Teilsystem der Proemialrelation ist nach Gotthard G�nther eine viergliederige Relation, ein Wechselspiel, "interlocking mechanism", zwischen Ordnungs- und Umtauschrelationen, die jeglicher Relationalit�t vorangeht. Der Chiasmus gibt an, wie die Dissemination realisiert wird, er ist ihr Mechanismus. Die chiastische Verteilung (Distribution) von Gegens�tzen und Gegenl�ufigkeiten ist die Explikation der Dissemination in der Vielheit ihrer irreduziblen Bedeutungen.
Der Chiasmus besteht aus einer Ordnungs-, einer Umtausch- und einer Koinzidenz-Relation und den Orten �ber die er verteilt wird. Die Ordnungsrelation regelt das Verh�ltnis zwischen Operator und Operand, die Umtauschrelation den Funktionswechsel zwischen Operator und Operand und die Koinzidenzrelation garantiert die kategoriale Zusammengeh�rigkeit (Koinzidenz) der Operationen und ihrer Objekte (Operator, Operand), und die Orte zeigen die Dissemination der Operationen an.
Die selbe Sprechweise wie f�r Operator/Operand gilt auch f�r die Unterscheidungen Relator/Relatum, Funktor/Funktionswert (Funktum), Objekt/Morphismus, usw.
However, if we let the relator assume the place of a relatum the exchange is not mutual. The relator may become a relatum, not in the relation for which it formerly established the relationship, but only relative to a relationship of higher order. And vice versa the relatum may become a relator, not within the relation in which it has figured as a relational member or relatum but only relative to relata of lower order.
Ri+1(xi, yi) is given and the relaturn (x or y) becomes a relator, we obtain
Ri (xi-1, yi-1) where Ri = xi or yi. But if the relator becomes a relatum, we obtain
Ri+2(xi+1, yi+1) where Ri+1 = xi+1 or yi+1. The subscript i signifies higher or
We shall call this connection between relator and relatum the 'proemial' relationship, for it 'pre-faces' the symmetrical exchange relation and the ordered relation and forms, as we shall see, their common basis." Gunther
"But the exchange is not a direct one. If we switch in the summer from our snow skis to water skis and in the next winter back to snow skis, this is a direct exchange. But the switch in the proemial relationship always involves not two relata but four!"
Die proemial relationship wie sie von G�nther in Cognition and Volition" eingef�hrt wurde, ist nicht identisch mit dem Konzept des Chiasmus, wie ich ihn hier definiere. Einmal ist der Chiasmus historisch betrachtet nur ein Aspekt der Proemialrelation, andererseits benutze ich ihn hier schrittweise als Explikation der Proemialrelation. Diese Explikation ist weit ausf�hrlicher als die G�nthersche und betont st�rker die Simultaneit�t der Relationen. Die sog. Koinzidenzrelation bzw. kategoriale Gleichheit, die die Kompatibilit�t der verschiedenen Ebenen regelt, fehlt bei G�nther g�nzlich. Dazu kommt, dass der Gedanke der Pro�mialit�t bei G�nther in zwei Formulierungen existiert, n�mlich als founding relation (Fundierungsrelation) und als proemial relationship (Proemialrelation).
Die Proemialrelation (PR) verweist auf zwei Ebenen der Inskription, die Polykontexturalit�t und die Kenogrammatik, und auf die Verbindung zwischen beiden.
Die Inskription der Prozessualit�t der Vierheit des Chiasmus in der Kenogrammatik.
Thus the proemial relation represents a peculiar interlocking of exchange and order. If we write it down as a formal expression it should have the following form:
where the two empty squares represent kenograms which can either be filled in such a way that the value occupancy represents a symmetrical exchange relation or in a way that the relation assumes the character of an order." Gunther, p. 227
Die Formel suggeriert gewiss wieder eine Unterscheidung zwischen Operator und Operanden. Davor habe wir eben gerade gelernt, dass die proemial relationship die Bedingung der M�glichkeit, das Pr�ludium bzw. eben das Pro�mium, jeglicher Relationalit�t und Operationalit�t darstellt.
Versteht man unter den Begriffen Relator und Relatum einer Proemialrelation klassische Termini der Relationenlogik, dann entsteht ein Zirkel in der Definition, positiver ausgedr�ckt, handelt es sich dann um eine unfundierte Definition. Diese Zirkularit�t ist jedoch nur dann zwingend, wenn im Sprachrahmen der Identit�tslogik argumentiert wird. Die Vermittlung selbst, der interlocking mechanism zwischen den Relationen ist selbst nicht wieder eine dieser Relationen. Seine Struktur ist antinomisch.
Im Unterschied zur G�ntherschen Vorlage zur Bestimmung der Proemialrelation als interlocking mechanism" (in meiner Terminologie als Chiasmus) soll hier unter dem Gesichtspunkt der skizzierten PolyKategorientheorie und der Methoden des Conceptual Graphs eine Explikation der Proemialit�t versucht werden.
G�nther unterscheidet klar drei Konstituenten einer Relation:
"The relata are the entities which are connected by a relationship, the relator, and the total of a relationship and the relata forms a relation. The latter consequently includes both, a relator and the relata." Gunther
G�nther hat dann, wie zur Gen�ge bekannt und wie weiter unten ausf�hrlich entwikkelt, seine Proemialrelation als Wechselspiel, d.h. Als interlocking mechanism" zwischen den zwei Konstituenten Relator" und Relatum" entwickelt.
Eine Modellierung im Sinne der Polykontexturalit�t und der neuen Erkenntnisse aus der PolyKategorientheorie einbeziehend, muss selbstverst�ndlich das gesamte Konstrukt der Relationalit�t bzw. Operationalit�t mit seinen drei Konstituenten "Relator, Relatum, Relation" proemialisiert werden und nicht bloss die dyadische Bestimmung von Relator und Relatum.
Der Conceptual Graph des Konstrukts Operation" zeigt seine kategoriale Bestimmung und diese ist fundiert in der Unizit�t, dargestellt durch die 1.
Der "interlocking mechanism" zwischen Operator bzw. Relator und Operand bzw. Relatum je Position bzw. level" ver�ndert bzw. verandert" (Theunissen) naheliegenderweise auch die Konzeptionalit�t der Relation als Ganzer. Dies ist evident, doch in grundlagentheoretischen Studien muss gerade das Evidente explizit gemacht und thematisiert werden.
Beide Relationen sind gem�ss ihrer Distribuiertheit in sich vollst�ndig charakterisiert und in ihrer Einzigkeit fundiert. Zugleich ist jedoch ihre Vielheit durch die Umtausch- und die Koinzidenzrelation in sich vermittelt.
Die Charakteristika des Chiasmus als einer Explikation der Proemialrelation m�ssen nun entsprechend des Graphen erg�nzt werden durch die Bestimmungen f�r die Relation als Ganzer und die jeweilige Unizit�t.
Diese systemische, die Ganzheit der Operation bzw. Relation betrachtende Explikation der Proemialit�t garantiert, dadurch, dass alle benutzten Konstituenten distribuiert und vermittelt sind, eine irreduzible polykontexturale Bestimmung der Vermittlung von Relator und Relatum je Position, d.h. eine Dissemination der Relationalit�t ohne Rest. Wird die Operation als solcher und ihre Unizit�t nicht in den Distributionsmechanismus aufgenommen, besteht immer noch die M�glichkeit, die Proemialit�t von Operator und Operand in einer nicht-distribuierten Operativit�t aufzufangen.
Die Unizit�t hat zwei Funktionen. Einmal betont sie die Einzigkeit der Idee der Operationalit�t, fundiert auf einer allgemein anerkannten Intuition, die gewiss nicht innerhalb ihres Bereiches beweisbar ist, f�r die es jedoch gute Argumente und reichlich best�tigende Erfahrung gibt. Andererseit gibt die Unizit�t den Ort der jeweiligen Operationalit�t im Framework der Polykontexturalit�t an.
In diesem Sinne ist die Operationalit�t nach dem Modell der Kontextur verstanden. Eine Kontextur ist als Elementarkontextur einzig, als Teil einer Verbundkontextur ist sie eingebettet in eine Pluralit�t, d.h. in die Polykontexturalit�t.
Etwas technischer formuliert, ist die Unizit�t, mit einem Index versehen. Soll dies noch weiter reduziert werden, l�sst sich die Vielheit der Unizit�t auf die Reihe der nat�rlichen Zahlen abbilden. Damit wird auch deutlich, dass es sich bei den bisher betrachteten Verteilungen um Disseminationen im Modus der Linearstruktur handelt. Oder anders ausgedr�ckt, die Frage nach der Struktur der Verteilung wurde bisdahin noch nicht in die Untersuchung miteinbezogen.
Mit der Abbildung auf die Reihe der Nat�rlichen Zahlen w�re auch ein System als Anfang der Reihe gesetzt. Wie inzwischen wohl plausibel geworden, entspricht ein Anfang dieser Art nicht einem chiastischen Entwurf. Entsprechend, wie anderswo, ist die Anf�nglichkeit eines solchen Anfangs zu dekonstruieren und damit auch eine m�gliche Ausgezeichnetheit der Reihe der nat�rlichen Zahlen.
In der Terminologie der Graphentheorie lassen sich alle Formen zwischen der Linear- und der Sternstruktur untersuchen. Allgemeiner formuliert, basiert eine Distribution auf einer Topologie fundiert in der Kenogrammatik.
Umtausch-, Ordnung- und Koinzidenrelationen zwischen Operation, Operand, Operator, Operationalit�t und Unizit�t sind entsprechend einzuf�hren und formal wie inhaltlich zu interpretieren.
Es zeigt sich, dass die polykategoriale Explikation der Proemialrelation nicht mit einem Chiasmus allein, sondern mit einer Mehrzahl von Chiasmen geschieht. Eine Abstraktion von dieser Vielheit inskribiert sich in der Kenogrammatik der Proemialit�t.
Dass ein Chiasmus zwischen Operator und Operand, wie wir ihn zur Gen�ge kennen, den Begriff der jeweiligen Operation tangiert, ist leicht einzusehen. Ebenso, dass eine differente Konzeption der Operation in einer entsprechend differenten Konzeption der Operationalit�t fundiert ist und ein Chiasmus bzw. eine Umtauschbeziehung zwischen beiden, Operation und Operationalit�t, verteilt �ber verschiedene Systeme, sinnvoll m�glich ist.
Schwieriger scheint es, einen Chiasmus zwischen der jeweiligen Unizit�t und der Operationalit�t der differenten Systeme zu denken. Vor allem dann, wenn die jeweilige Unizit�t f�r Notationszwecken durch nat�rliche Zahlen dargestellt werden. Die Situation ist analog der Situation der Chiastifizierung der Nat�rlichen Zahlen. Auch hier vollzieht sich der Umtausch nicht auf der Basis der konkreten einzelnen nat�rlichen Zahlen, sondern auf der Basis ihrer Funktionalit�t als Anfang" bzw. als Ende" eines Z�hlprozesses und deren Verteilung �ber die verschiedenen Systeme.
Die Unizit�t der einen Operationalit�t (Logik, Arithmetik, usw.) wird relativiert, in Gegensatz gesetzt zur Existenz einer anderen Operationalit�t in einem Nachbarsystem. Damit wird zweierlei ausgesagt, es gibt eine und nur eine Operationalit�t (in System1) und diese ist nicht einzig, sondern steht in Nachbarschaft zu einem anderen System, das selbst in einer Unizit�t begr�ndet ist. Die Eins der Unizit�t ist einzig und hat seine Nachbarn f�r die dasselbe gilt. F�r alle gilt, dass sie genau dann einzig sind, wenn sie nicht einzig sind.
Da diese Situation unter der Herrschaft des Monotheismus und seiner Onto-Theo-Logik, heute ist dies alles unter anderen Namen versammelt, emotional schwer nachvollziehbar zu sein scheint, verweise ich, auch hier, auf die Arbeiten Erik Hornungs (Der Eine und die Vielen. �gyptische Gottesvorstellungen, Darmstadt 1971).
Eine einfache Unizit�t als Monas kann einzig gesetzt werden, sie kann jedoch den Prozess ihrer Setzung nicht reflektieren. Dies ist, um ein anderes Schlagwort zu bem�hen, ihr "Blinder Fleck".
Die Unizit�t im Zusammenhang der Polykontexturalit�t gibt durch die Differenzsetzung der Verschiedenen Systeme und deren Unizit�t, die M�glichkeit der Explikation des Mechanismus der Setzung der jeweiligen Unizit�t an.
Die gegenseitige Fundiertheit von Einzigkeit und Andersheit l�sst sich in der folgenden paradoxen Formulierung zusammenbringen.
Die Einzigkeit ist fundiert in der Andersheit der anderen Einzigkeit und die Andersheit ist fundiert in der Einzigkeit der anderen Andersheit. Und die Fundierung fungiert als die Einzigkeit der Andersheit und als die Andersheit der Einzigkeit . Man k�nnte dies als Formulierung des heterologischen Prinzips anf�hren.
Wird diese Formulierung als Beschreibung der Verh�ltnisse des Diagramms gelesen, f�llt sie bedeutend weniger paradox aus.
Aufgrund dieser gegenseitigen Fundiertheit, l�sst sich eine weitere paradoxale Eigenschaft hervorheben: die Selbstbez�glichkeit des jeweiligen Systems.
s. Kaehr, Kalk�le f�r Selbstreferentialit�t oder selbstreferentielle Kalk�le?
Die Explikation der Proemialit�t durch G�nther l�sst sich am ehesten als Chiasmus verstehen. Dieser ist ein Teilsystem der vollen Explikation wie sie durch die polykategoriale Darstellung mithilfe des Conceptual Graph angegeben wurde.
In der Literatur zur Polykontexturalit�t werden mindestens drei verschieden Darstellungsformen des Modells des Chiasmus benutzt: das heliktische (umrankende), das kaskadische (stufenf�rmige) und das zyklische Modell des Chiasmus. Alle drei sind formal v�llig identisch, betonen in ihrer leicht verschiedenen graphischen Darstellung jedoch unterschiedliche Aspekte des Chiasmus. Das zyklische betont mehr die Geschlossenheit der Figur, das heliktische und das kaskadische mehr die rankende bzw. die stufenf�rmige Offenheit des Modells. Dies kommt insb. in seiner generellen �ber mehr als vier Positionen entwickelte Modell zur Geltung. Der Chiasmus in seiner Grundform, d.h. mit vier Positionen, ist als Minimalsystem zur Erzeugung chiastischer Figurationen beliebiger Kompliziertheit und Komplexit�t zu verstehen.
Ein proemielles Objekt PrObj wird definiert durch seinen Typ typ, seinen Rang rang und seine Kategorie kat, also durch
Klassischerweise hat ein (identitives) Objekt auch seine entsprechenden Attribute und ist Element von Sorten.
Der Typ gibt die Unterscheidung von Operator und Operand an.
Der Rang gibt den Index, d.h. die Positionalit�t, den Ort der Distribution des Typs an.
Die Kategorie gibt das Verh�ltnis zwischen zwei Objekten mit dem selben Typ und verschiedenem Rang an.
Der Begriff der Kategorie kat (nicht zu verwechseln mit der Kategorie im Sinne der mathematischen Kategorientheorie) liefert (hier) eine Explikation der polykontexturalen Gleichheit. (Diese ist nicht zu verwechseln mit der �quivalenz der Kenogrammatik.)
Zwei Objekte O und O� sind pkl-gleich, jedoch nicht identisch, nicht dieselben, wenn sie in ihrer Kategorie �bereinstimmen und sich in ihrem Rang unterscheiden. Objekte aus einer Kategorie sind untereinander gleich, d.h. sie sind typengleich, von selben Typ jedoch von verschiedenem Rang. Objekte sind untereinander pkl-selbig, wenn sie in ihrem Typ und ihrem Rang �bereinstimmen. Objekte sind untereinander pkl-verschieden, wenn sie in ihrem Typ und ihrem Rang nicht �bereinstimmen.
Objekte sind gleich im klassischen Sinne, d.h. identisch, wenn sie in allen ihren Attributen �bereinstimmen, divers, wenn sich in mindestens einem ihrer Attributen unterscheiden. Sind Objekte identisch, dann stimmen sie auch in Typ, Rang und Kategorie �berein, d.h. sie sind selbig im Sinne der PKL.
Auf der Basis der gegebenen Definition Proemieller Objekte PrObj lassen sich Operationen der Generierung komplexer Gebilde definieren. Die zwei Grundoperationen sind dabei die Operation der Iteration und der Akkretion von proemiellen Objekten.
Die Iteration wiederholt das proemielle Objekt unter Bewahrung seiner Komplexit�t, die definiert ist durch die M�chtigkeit seines Ranges. Erweitert wird durch die Iteration der Bereich des Typs. Sie generiert pkl-selbige Objekte.
Die Akkretion wiederholt das proemielle Objekt unter Bewahrung seiner Komplikation, definiert durch die Anzahl der Typen. Die Akkretion erweitert die Dom�ne des Ranges des Objekts, sie generiert pkl-verschiedene Objekte.
Auf der Basis der Unterscheidung von Attribut, Typ, Rang und Kategorie, lassen sich verschiedene Objektklassen bzw. Typen der Objektionalit�t definieren.
1. Proemielles bzw. chiastisches Objekt
2. Semiotisches Objekt als triadisch-trichotomes Redukt, Kategorie
3. Duales Objekt, Zwei-Seiten-Form, Polarit�t, Gegensatz, Antagonismus
4. Primordiales Objekt, identitives Objekt, Individuum als Attributentr�ger.
Interessant ist nun, diese Klassifikation mit den programmiersprachlichen Objekten in Verbindung zu bringen: Vom Teilprogramm, Modul, Objekt, zum intelligenten Agenten und weiter.
Aufgrund all der Konstruktionen l�sst es sich fragen: Was ist nun das Objekt, das in solchen polykontexturalen Systemen interagiert?
Die Antwort scheint naheliegend zu sein. Es ist das Objekt, das teilhat an den verschiedenen Computations innerhalb des Systems.
Dies kann von einer monokontexturalen zu einer hochkomplexen polykontexturalen Objektionalit�t reichen. Ebenso kann das Objekt im Verlauf der Prozedur der Computation sich in seiner Komplexit�t ver�ndern. Es ist objektional dynamisch.
Die Ver�nderung kann auf einer Datenebene durch den Wechsel von logischem Universum und Sorte bzw. zwischen Logik und Datenstruktur des Objekts geschehen.
Klassische Objekte haben eine vorgegebene Datenstruktur. Transklassische Objekte haben eine dynamische Datenstruktur.
Damit die Dualit�t in einem System formuliert werden kann, muss vorerst die Koinzidenzrelation etabliert sein. Dies wird im allgemeinen nicht zum Thema, sondern ist stillschweigende Voraussetzung, motiviert dadurch, dass beide Satzsysteme Teile des selben formalen Systems darstellen. Das Zueinanderpassen der beiden Teilsysteme muss nicht erst etabliert, sondern kann in solchen Situationen problemlos vorausgesetzt werden.
Zwischen zwei Dualobjekten besteht eine Ordnungsrelation in dem Sinne, dass ein Dualobjekt dem anderen gegen�ber ausgezeichnet wird. Es wird etwa Thema weiterer Untersuchungen oder Beweise und das andere verbleibt unthematisisch im Hintergrund.
Der Dualit�t zwischen zwei Objekten entspricht die Umtauschrelation, oft realisiert mithilfe der Negation bzw. mit Negationssystemen.
Die Koinzidenrelation wie auch die Positionierung der Dualit�t wird durch das System innerhalb dessen die Dualit�t definiert wird als Voraussetzung gegeben.
Insofern Dualit�t intra-kontextural, etwa innerhalb eines logischen Systems, thematisiert wird, entsteht hiermit auch kein Problem. Die Situation ist verschieden, wenn zwei fremde Systeme sich tangieren und der Prozess der Dualisierung vollzogen werden soll, so dass als Resultat zwischen den Systemen eine Dualit�t als struktureller Zusammenhang gebildet ist.
Der vollst�ndige Chiasmus ist formal definiert durch das 4-Tupel:
<Ordnung, Umtausch, Koinzidenz, Ort> bzgl. passender Objekte.
Ordnungsrelation ist fundiert in der Typendifferenz von Relator und Relatum, bzw. von Operator und Operand und seinem Rang der Distribution. Die Typendifferenz von Relator und Relatum ist fundiert in der Kategorie der Operatoren und Operanden je Rang.
Umtauschrelation ist fundiert in der Differenz zwischen verschiedenem Rang und je verschiedenem Typ und der Koinzidenz der dualen Typen in derselben Kategorie.
Koinzidenzrelation ist fundiert in der Kategorie der Typen je Rang. Sie gibt die Gleichheit im Sinne der PKL der Ordnungrelationen an.
Positionsrelation gibt die Verschiedenheit der Ordnungsrelationen als distribuierter an. Sie ist fundiert in der Umtausch-, Koinzidenz- und Ordnungsrelation.
Alle Charakteristika des Chiasmus fundieren sich gegenseitig. Keine Relation innerhalb des Gef�ges des Chiasmus existiert ohne die anderen. Alle Konstituenten des Chiasmus als eines Gef�ges gelten zugleich. Die Betonung der Simultaneit�t der Bestimmungen des Chiasmus erzeugt auch einen Unterschied in der Explikation der Proemialrelation zur G�ntherschen Fokussierung auf den mehr kaskadischen Aspekt der proemial relationship.
Jede einzelne Relation, wie auch zusammengesetzte Relationen, k�nnen f�r sich als Redukte und Derivate des Chiasmus fungieren.
- Aufgefundene oder eingef�hrte Ordnung zwischen Objekten, damit Bestimmung der jeweiligen Objekte als Objekte dieser Ordnung,
- Konstruktion einer Gegenl�ufigkeit zur ersteren Ordnung,
- Auffinden eines Umtauschs zwischen den Operationsgliedern
- Erstellung einer Koinzidenzrelation im Sinne einer kategorialen Gleichheit zwischen Operatoren und Operanden der jeweiligen Stufen,
- Bestimmung von Orten bzw. Angabe der Stufen, die von den Operationen (Ordnungsrelationen usw.) eingenommen bzw. dadurch er�ffnet oder erschlossen werden.
Eine weitere Pr�zisierung der Einf�hrung des Chiasmus, basierend auf der Intuition der Proemialrelation, l�sst sich erzielen durch den Gebrauch und den Vergleich von kategorientheoretischen Begriffen.
Einmal l�sst sich zeigen, dass der Begriff der Kategorie auf einer Ordnungsrelation beruht und dass die Komposition von Morphismen auch als verdeckten Chiasmus gelesen werden kann.
Andererseits l�sst sich der Chiasmus als eine Kategorie Einf�hrung, die nicht bloss auf einer Ordnungsrelation basiert, sondern zus�tzlich die Relationen der Koinzidenz und des Umtauschs involviert.
Die Kommutativit�t von Morphismen einer Kategorie kennt nur Ordnungsrelationen. Bei der Verkn�pfung von Morphismen wird allerdings eine Umtauschrelation bez�glich Domain und Codomain benutzt. Dieser Umtausch wird als solcher jedoch nicht reflektiert und ist aufgrund der extensionalen mengentheoretischen Ausrichtung dieser Begriffsbildungen wohl auch irrelevant.
So wird die Verkn�pfung (f*g)=h, definiert durch die Domain- und Codomaingleichungen: D(f)=D(h)
Kategorien lassen sich somit charakterisieren als Ordnungs-, Umtausch- und Koinzidenzrelationen bzgl. Domain und Codomain eines Morphismus bzw. der Verkn�pfung von Morphismen. Sie unterscheiden sich jedoch nicht in ihrer Positionalit�t. Damit ist jede Kontexturdifferenz aufgehoben und ein rein extensionaler Zusammenhang etabliert. In diesem Sinne l�sst sich die Konzeption einer Kategorie als Spezialfall einer Proemialrelation bzw. eines Chiasmus interpretieren.
Diese extensionale Sichtweise findet ihren Niederschlag in den Axiomen, die eine Kategorie weiter bestimmen: Identit�t, Kommutativit�t und Assoziativit�t der Morphismen.
Eine sehr formale Einf�hrung des Begriffs der Kategorie gibt Peter Gumm:
Definition 3.1. A category C consists of a class Co of objects A, B, C, . .. and a class Cm of morphisms or arrows f,g,h,... between these objects together with the following operations:
associating with each arrow its source (domain), resp. its target (codomain), and with every object A its identity arrow idA. Moreover there is a partial operation (o) of composition of arrows. Composition of f and g is defined whenever codom(f ) = dom(g). The result is a morphism go f with dom(g o f ) = dom( f ) and codom(g o f ) = codom(g). The following laws have to be satisfied whenever the composition is defined:
idA o f = f and g = g o idA." Peter Gumm
Wichtig f�r das Verh�ltnis von Intuition und Formalisierung ist auch zu sehen, dass die Objekte der Kategorientheorie nicht einfach Mengen sind, sondern Klassen. Nun ist aber der Begriff der Klasse in der Mengenlehre, wo er herkommt, �usserst problematisch. Diese Problematik zu �bersteigen war auch eines der wesentlichen Motive zum Entwurf der Kategorientheorie (Mengen, Klassen, Konglomeraten, Universen,...).
Der Chiasmus l�sst sich aufgrund der Bestimmungen Domain und Codomain eines Morphismus modellieren. Je Ordnungsrelation gelten die klassischen Bestimmungen. Zwischen Umtausch- und Koinzidenzrelation gelten die Bestimmungen verteilt �ber die verschiedenen loci. Wichtig ist, dass als zugrundeliegende Logik dieser Bestimmungen die polykontexturale Logik mit ihren Verbund-Operatoren und Transjunktionen fungiert.
Bei den erfolgten Darstellungen des Chiasmus, der relationalen, kategoriellen und typentheoretischen", fragt es sich unweigerlich, wo denn der eigentliche Clou abgeblieben ist. L�sst sich das Ganze nicht einfach relational und kategorial innerhalb klassischer Begrifflichkeiten modellieren? Sind nicht die Umtausch- und die Koinzidenzrelation klassische Relationen und darstellbar als klassische Morphismen? Was f�r die Ordnungsrelation ohnehin gilt, dass sie ein klassischer Morphismus darstellt, k�nnte doch ohne Umst�nde auch f�r die Umtausch- und die Koinzidenzrelation gelten. Ist die Umtauschrelation nicht durch eine Involution darstellbar und die Koinzidenzrelation nicht einfach eine Identit�t? Noch suggestiver ist die Situation der Vermittlung von Kategorien durch die Proemialrelation. Handelt es sich dabei nicht einfach um einen Isomorphismus zwischen Kategorien?
Die Kategorientheorie geht von einer sehr simplen und fundamentalen Intuition aus: es gibt Objekte und es gibt Morphismen (zwischen diesen Objekten) f�r die eine assoziative Komposition gilt. Jedem Objekt ist ein Identit�ts-Morphismus zugeordnet. Und mehr ist nicht verlangt, um den Bereich des Mathematischen und auch der Logik sukzessive zu definieren bzw. zu rekonstruieren.
Die Graphematik dagegen geht von der Grundintuition aus, dass zu ihrer Einf�hrung vier fundamentale relationale Begrifflichkeiten im Spiel sind: die Ordnungs-, die Umtausch-, die Koinzidenz- und die Verortungsrelation. Dies bezogen auf Objekte, die sich vom klassischen Objekt durch deren irreduzible Komplexit�t und Ambiguit�t unterscheiden. Die Objekte des Chiasmus sind Komplexionen und somit selbst wiederum Chiasmen. Alle vier relationale Bestimmungen des Chiasmus bzw. der Proemialit�t sind simultan im Spiel und lassen sich nicht aufeinander abbilden.
Wird diese Intuition akzeptiert, ist klar, dass die Umtauschrelation nicht einfach eine gegenl�ufige bzw. doppelte Ordnungsrelation darstellen kann, da die Ordnungsrelation nicht zwischen logischen Ebenen, sondern nur innerhalb derer definiert ist. Entsprechend gilt dies auch f�r die Koinzidenzrelation, die nicht innerhalb eines logischen Ortes, sondern zwischen logischen Orten definiert ist. Ebensowenig wie sich die Koinzidenzrelation auf einen Morphismus zur�ckf�hren l�sst, l�sst sie sich als eine Umtauschrelation definieren. Damit ist die Problematik in den Bereich der Orte verschoben. Wie lassen sich Orte unterscheiden so dass sie sich der Vereinheitlichung durch einen Morphismus entziehen k�nnen? Orte lassen sich numerieren. Damit sind wir zur�ck in der Peano-Falle. Doch wer sagt, dass Zahlen einzig sich nach den Peano-Axiomen verhalten? Wenn die Zahlen, die den Orten zugeordnet sind, sich als Anf�nge verschiedener distribuierter Peano-Systeme erweisen, sind wir aus der Peano-Falle. D.h., wir haben ein Kriterium bzw. einen Mechanismus, die Orte zu separieren, der nicht auf die nat�rlichen Zahlen angewiesen ist. Doch woher haben wir die disseminierten Peano-Systeme...? Nat�rlich durch F�rbung der Orte, doch... usw. Doch wozu sollte sich die polykontexturale Arithmetik strikt begr�nden lassen, wenn dies der Peano-Arithmetik bisdahin nicht gelungen ist?
Zwei Gedanken sind hier zu explizieren: die Simultaneit�t der Bestimmungen und deren Heterogenit�t. Gelingt dies, dann ist der �bergang vom Leitfaden des Isomorphismus zum Paradigma des Heteromorphismus, kurz von der Mathematik zur Graphematik, im Prinzip vollzogen.
Morphismen sind strukturerhaltende Abbildungen.
Angenommen, die Proemialrelation l�sst sich in der Terminologie der Morphismen einf�hren. Was geht dabei verloren?
Ist die Intuition der Proemialit�t gegeben, dann l�sst sich die Proemialrelation, zumindest in einem ersten Schritt, mithilfe von Morphismen modellieren.
Dies ist in aller Ausf�hrlichkeit in der Arbeit von Jochen Pfalzgraf bzgl. der sog. Vermittlungsbedingungen f�r eine polykontexturale Logik geschehen. Die Vermittungsbedingungen haben die Form eines Chiasmus.
Werden Isomorphie-Aussagen �ber ein System gemacht, dann gibt es zwei M�glichkeiten die Aussage zu verorten, sie kann der Metasprache, hier etwa die Kategorientheorie, zugeordnet werden oder aber der Isomorphismus erzeugt ein neues System auf der Objekt-Sprachenebene.
Nun kommt ja die Kategorientheorie nicht unschuldig und ohne Voraussetzung in die Welt der Mathematik. Wenn auch der Mathematiker sich nicht notwendigereise auch mit der der Kategorientheorie zugrundeliegenden Logik oder gar Semiotik auseinandersetzen muss, oder gar davon ausgeht, dass auch die Logik selbst kategorientheoretisch eingef�hrt werden kann, muss er doch, wenn er Definieren und Beweisen will, sich einer Logik bedienen. Ebenso muss er irgendwelche Aussagen �ber seine Objekte machen. Dabei kann er sich leicht, zumindest zum Einstieg, auf die Erfahrungen mit der Mengenlehre beziehen.
Was ist nun der relationale Unterschied zwischen der Umtausch- und der Koinzidenzrelation?
Das Gemeinsame ist, dass sie nicht innerhalb eines logischen Ortes, sondern zwischen verschiedenen logischen Orten definiert sind. Der Unterschied ist, dass sie bzgl. der Terminologie von Domain und Codomain je logischer Stufe verschieden definiert sind. Die Koinzidenzrelation ist naheliegenderweise verbunden mit der Gleichheit der Bestimmungen je Ebene, also Domain bzw. Codomain je Ebene koinzidieren. Entsprechend ist die Umtauschrelation durch die Verschiedenheit der Bestimmungen je Ebene definiert, als Domain bzw. Codomain der einen Ebene entspricht Codomain bzw. Domain der anderen Ebene. Da die Morphismen �ber den Termini Domain und Codomain definiert sind, l�sst sich die Bestimmung von Umtausch und Koinzidenz legitimerweise �ber diesen Termini bestimmen und damit deren Unterschied begr�nden, es l�sst sich diese Einf�hrung auch nicht durch eine Abstraktion von diesen Termini eliminieren, da ja Domain und Codomain fundamental auch f�r die Morphismen (der Ordnungsrelation) sind. Eine Abstraktion von diesen Begriffen w�rde somit auch die Definition des Morphismus eliminieren. Damit w�re dann allerdings das Spiel f�r alle Beteiligten aus.
Diese Argumentation ist trivialerweise von der Terminologie der klassischen Kategorientheorie her gedacht. Die Benutzung von Termini wie Domain und Codomain zur Definition eines Chiasmus ist gewiss nicht unproblematisch. Die Art wie hier diese Termini benutzt werden, entspricht eher einer Dekonstruktion, d.h. Verkehrung und Verschiebung, denn einer strikten Applikation. Denn es verst�sst gegen deren Definition, sie zwischen Logiken anzusetzen, da sie strikt innerhalb einer Logik definiert sind.
Eine andere Frage ist, wieweit sich eine polykontexturale Kategorientheorie ohne R�ckgriff auf die klassischen Bestimmungen einf�hren l�sst. So wie die Kategorientheorie auf einer bestimmten Intuition der Morphismenbildung beruht und eine Explikation �ber Objekte, Morphismen und Domains macht, liesse sich die polykontexturale Kategorientheorie direkt �ber die Intuition der Proemialit�t einf�hren, insofern auch, als in ihr die Ordnungsrelation eine Konstituente des Chiasmus darstellt und zur Bildung von Morphismen genutzt werden kann. In diesem Sinne erweist sich die Idee der Morphismen als ein Redukt einer chiastischen Strategie.
Auch Winkelw�rter haben, wenn auch keine Strickmuster, ihre Striktheit. (Derrida, FORS, in: K. Abraham, M. Torok, Kryptonymie)
Angenommen, es seien verschiedene Kategorien gegeben und zwischen ihnen best�nde ein Isomorphismus, dann l�sst sich dieser Isomorphismus in einen Heteromorphismus verwandeln, wenn auf die Heterogenit�t der Bereiche gesetzt werden will. Diese M�glichkeit ist in der Polykontexturalit�t begr�ndet und l�sst sich im klassischen Paradigma nicht realisieren.
Der Isomorphismus zwischen Kategorien, der in einer Logik formuliert wird, muss entsprechend entf�delt", separiert und in verschiedene Logiken verschoben werden. Als Folge davon, gilt nun zwischen den Kategorien nicht mehr ein Isomorphismus, sondern ein Chiasmus, dargestellt in der Umtausch- und Koinzidenzrelation, verteilt �ber verschiedene Logiken.
Heterogenit�t von Bereichen bzw. Systemen bedeutet nicht, dass diese nicht miteinander interagieren k�nnten. Im Gegenteil, strenge Interaktivit�t gelingt nur zwischen autonomen und damit heterogenen Systemen. Eine Homogenisierung erm�glicht Interaktion im Sinne eines Informationsaustausches basierend auf einem gemeinsamen Zeichenrepertoire.
Isomorphismen zwischen Kategorien sind eine Thematisierung und Konstruktion, die auf der Basis der eingef�hrten Konzeptionalit�t der Kategorie, also als ein methodisch n�chster Schritt in der Systematik realisiert wird.
Eine Reduktion der Proemialit�t der PolyKategorien auf einen Isomorphismus w�rde vor allem eine Verwechslung der Ebenen der Systematik bedeuten. Dies ist dadurch leicht einsichtig zu machen, wenn die Konstruktion der Isomorphismen zwischen polykontextural fundierten, d.h. zwischen Polykategorien eingef�hrt wird. Selbstverst�ndlich k�nnen Polykategorien in vielf�lltigerweise untereinander isomorph sein. Die Isomorphie zwischen Kategorien ist eine abgeleitete bzw. aufbauend konstruierte Konzeption und ist nicht basal in der Definition der Kategorie enthalten. Polykategorien sind jedoch gerade auf dieser basalen Ebene entworfen.
Die Fokussierung auf eine Forschungsthematik produziert Aussagen, die als Antworten auf Fragen verstanden werden k�nnen, die meistens nicht selbst explizit thematisiert werden. Die DiamondStrategien helfen solche als Hintergrundsthematik laufenden und als verdeckte, den Fragekontext bildende Fragenkomplexe aufzudecken und der Thematisierung zug�nglich zu machen.
Ebenso ist es Aufgabe der DiamondStrategien, die immanenten Limitationen des Fragens als Erfragen, Befragen bzgl. eines Gefragten aufzuweisen. Das Wechselspiel von Fragen und Antworten ist gewiss eine wichtige Form der Interaktion, doch nicht jede Interaktion hat die Form von Frage/Antwortsystemen.
Wie h�ngen die Operatoren (Operanden) der verteilten Systeme zusammen? Welche Zwischenstufen m�ssen eingef�hrt werden, damit das Ganze einen geistig und psychisch nachvollziehbaren Sinn ergibt? Was muss erg�nzend syntaktisch wie semantisch konstruiert werden, damit der Gesamtmechanismus lauff�hig, die Struktur vervollst�ndigt ist?
Die Kl�rung des Zusammenhangs, der reflektierterweise nicht einfach vorausgesetzt werden kann, ist im chiastischen Modell verbunden mit der Aufgabe der Konkretisierung der Koinzidenzrelation, d.h. mit dem Auffinden/Erfinden der konkreten, f�r die Situation und den Kontext geltenden kategorialen Gleichheit(en) zwischen den Objekten (Kompatibilit�t).
Sind diese konstruiert, so ist der geltende Zusammenhang, die Vernetzung etabliert - vorher nicht. Kontexturale Abbr�che stellen die Obstakel der Vernetzung dar und k�nnen nur durch transkontexturale Operationen, die chiastisch strukturiert sind, �berbr�ckt werden. Zudem k�nnen f�r eine Konstellation, je nach Interpretationsstandpunkt, oder Konnex, eine F�lle von kategorialen Zusammenh�ngen konstruiert werden. Wie weit liegen Gegens�tze auseinander? Je Kontext ist die Distanz v�llig verschieden. F�r gelingende Kommunikation und Interaktion m��te diese Frage, zumindest im Hintergrund, gekl�rt bzw. kl�rbar, d.h. auch konstruierbar sein. Maschinen m�ssen daher Fragen stellen k�nnen, um ihre Interaktionsumgebungen auf Kompatibilit�t hin zu erfragen und zu befragen.
Soweit nicht vorgegeben, besteht die erste Aufgabe darin, zu jedem Begriff den passenden Gegenbegriff zu finden. Dies geschieht jedoch nicht immer �ber den einfachen Weg der Negation, also von computation" zu non-computation", schon nur deshalb nicht, weil es eine Vielheit von Gegensatztypen zu einem Begriff gibt und auch, weil die negative Bestimmung eines Begriffs, positiv nicht viel zur Kl�rung beitr�gt.
Die zweite Aufgabe besteht darin, das zu dem gegebenen Begriffspaar passende second-order Begriffspaar zufinden. Dies kann oft leicht durch Diamondisierung, d.h. dem Auffinden bzw. der Konstruktion des weder/noch und des sowohl-als-auch des Gegensatzes geschehen.
Die dritte Aufgabe besteht darin, den Begriff zu finden, der weder das eine noch das andere des Gegensatzes markiert.
Die vierte Aufgabe besteht darin, den Gegensatz zur weder/noch-Markierung zu finden, dies jedoch in Abh�ngigkeit davon, dass die vierte Markierung des Begriffs dem sowohl-als-auch des ersten Begriffspaars entspricht.
Der durch die vier Schritte aufgebaute Diamond der dekonstruierten Begriffspaare ist als f�nfte Aufgabe, mit den Grundrelationen des Chiasmus (Umtausch, Ordnung, Koinzidenz, Verortung) in Einklang zu bringen.
Position (Satz, Setzung, Anfang, Affirmation): es gilt A.
Opposition (Gegensatz, Umkehrung, Dualisierung, Reflexion) von A.
Akzeption (Zugleich, Ineins, Sowohl-als-Auch) von Position und Opposition von A.
Rejektion (Verwerfung, Weder-Noch) von Position und Opposition.
Diese Bestimmungen sind nicht auf die klassische Aussagenlogik zu beschr�nken. Sie werden multinegational und transjunktional im Sprachrahmen der polykontexturalen Logik (PKL) modelliert.
Der Zusammenhang zwischen Diamond und Chiasmus ist dadurch u.a. gegeben, da� ein Satz relational verstanden werden kann als Subjekt-Pr�dikat-Struktur. Jeder Satz enth�lt Terme, die sich negieren, dualisieren, invertieren, reflektieren usw. lassen und somit den Gegen-Satz produzieren. Der Gegen-Satz ist selbst wiederum ein Satz und nimmt entsprechend seinen Ort ein. Er realisiert somit die Ordnungsrelation und die Ortsbestimmung, die Positionierung.
Die Umtauschrelation l��t sich mit dem Weder-noch und die Koinzidenzrelation mit dem Sowohl-als-auch korrelieren. Der Umtausch f�r sich genommen, abstrahiert von seinen Relata, ist die Differenz und diese ist weder das eine noch das andere Relatum. Sondern der Umschlag, also der Exchange. Den zwei Umtauschrelationen des Chiasmus entspricht im Diamond der Doppelschritt von Satz und Gegen-Satz zur Distanz.
Der Zusammenhang zwischen dem Diamond und dem Chiasmus l�sst sich dahingehend weitergehend formulieren, dass zwischen der Position gesetzt als Satz und der Opposition gesetzt als Gegen-Satz eine Hierarchie, d.h. eine Ordnungsrelation besteht. Auch wenn beide formal zueinander dual sind, wie etwa Tautologie und Kontradiktion, wird doch das eine, hier wohl die Tautologie als positiv und die Kontradiktion als negativ bewertet und dabei zus�tzlich mit dieser Bewertung, das Positive dem Negativen vorgezogen. W�re die Bewertung umgekehrt verlaufen, dann w�rde trotzdem eine Ordnungsrelation etabliert, eben die zur ersten duale, n�mlich dass die Kontradiktion der Tautologie vorgezogen wird.
Ebenso sind die zwei Ordnungsrelationen �ber zwei Orte verteilt. Damit sind alle Konstituenten der Definition eines Chiasmus, n�mlich Ordnungs-, Umtausch- und Koinzidenzrelation eingef�hrt.
Der Diamond ist die Struktur der DiamondStrategien. Diese sind als Strategien nicht nur f�r geistige Belange im Sinne einer Theorie denkender Leere von Bedeutung, sondern auch als Strategien formaler Systeme zur Erweiterung ihrer Selbstdefinition (Meta-Lernen im Gegensatz zu Adaption)).
Wurde bisdahin der Chiasmus als die Struktur der �berg�nge zwischen rechnenden R�umen bestimmt, lassen sich die DiamondStrategien als Movens der �berg�nge charakterisieren. Der Chiasmus zeigt die Struktur von schon vollzogener �berg�nge auf, die DiamondStrategien zeigen, wie diese �berg�nge zu vollziehen sind bzw. wie sie vollzogen werden k�nnen. Damit wird das volitive Moment der DiamondStrategien in Erg�nzung des kognitiven des Chiasmus im Zusammenhang einer allgemeinen Theorie der �berg�nge, d.h. der Chiastik, betont.
Bisdahin sind durch die DiamondStrategien Positionen geschaffen, eingenommen und untersucht worden. Damit ist gewissermassen ein Raumungsprozess, eine Dynamik des Einr�umens vollzogen worden. Aufgrund dieser Einr�umung von jeweils Positionen, l�sst sich komplement�r nach der Zeitigung der jeweiligen Positionen fragen. Welche Zeitmodi werden bei einer solchen Diamondisierung er�ffnet? Eine erste, allerdings weitreichende Fragemodalit�t ist eingef�hrt durch die Fragen nach der Erm�glichung und Entm�glichung, die die jeweiligen Positionen bereitstellen. Diese zwei Grundfragen k�nnen in einer Befragung wechselnd auf die Anfangsaussage angewandt werden.
Die als-Funktion l�sst reflexionslogische Sprech- und Thematisierungsweisen zu. Ein Objekt ist nicht einfach ein Objekt, sondern Etwas als Objekt ist ein Objekt. Also nicht A gleich B, sondern: A als B ist C. Damit erweist sich der Identit�tssatz A ist A" als ein Redukt der Form A als A ist A".
Eine Kante ist eine Kante" wird zu eine Kante im System1 als Objekt des Systems2 ist ein Knoten", kurz: eine Kante als Anderes ist ein Knoten" oder eine Kante fungiert zugleich als Knoten". Die Bestimmungen Kanten und Knoten gelten nicht nacheinander, sondern zugleich. Ein Objekt ist Ineins Kante wie Knoten. Die klassische metatheoretische Dualit�t von Kanten/Knoten wird dekonstruiert in eine Simultaneit�t und Gegenl�ufigkeit der Bestimmungen. Die Bestimmung Objekt" geh�rt einem weiteren System der Reflexion an.
Transkontexturale �berg�nge sind nicht immer vollst�ndig bestimmt. Klassische hierarchische Systeme, oder klassische polare Systeme lassen sich als spezielle unvollst�ndige Chiasmen interpretieren, f�r die keine transkontexturale �berg�nge definierbar sind. Andere Unvollst�ndigkeiten sind etwa transkontexturale �berg�nge deren intra-kontexturale Strukturation nicht vollst�ndig expliziert ist. Solche �berg�nge gelten als unmotiviert und haben eine gewisse Hochkonjunktur im sog. Wilden Denken poststrukturalistischer Art (Rhizomatik) dem jedoch jegliche Formalisierungsf�higkeit abgeht.
Entsprechend tauchen solche unvollst�ndige Chiasmen in der Computerwissenschaft auf. Einmal auf der Ebene der formalen Modelle des Berechenbaren selbst, aber auch auf der Ebene der Epistemologie der Maschinenmodelle und deren philosophische und medientheoretische Einbindung. Vielen fruchtbaren Modellen, die durch ihren Adhoc-Charakter auffallen, fehlt entsprechend eine Vervollst�ndigung zu einem funktionierenden Chiasmus. Interessant sind auch die Zusammenh�nge zwischen dem Betriebsystem und den Programmen. Es scheint auch, dass Teile des Chiasmus �ber die formale oder auch machinale Ebene und andere Teile �ber die interpretative mentale Ebene des Users verteilt vorkommen.
Die Viererstruktur des Chiasmus ist nicht eine dogmatisch gesetzte Basis, sondern das Erzeugendensystem komplexer Konfigurationen. Ihre Operatoren sind die Akkretion und die Iteration. Es kann hier nicht auf die Gesetzm�ssigkeiten der Vermittlung von Chiasmen eingegangen werden.
Die Akkretion chiastischer Strukturen erh�ht die logisch-strukturelle Komplexit�t, die Iteration die Komplikation innerhalb einer gegebenen Komplexit�t und die volle Dynamik von Komplexit�t und Komplikation wird durch die Vermittlung von Iteration und Akkretion erreicht. Die Komplexit�t wird definiert durch die M�chtigkeit des Ranges bei konstantem Bereich des Typs. Die Komplikation wird definiert durch konstanten Rang und wachsendem Typ.
Wichtig ist zu betonen, dass die Unterscheidung von Iteration und Akkretion nicht absolut ist, sondern selbst wiederum chiastisch thematisiert werden kann. So ist etwa die reine Iteration eines Chiasmus zu verstehen als eine Superposition von Ordnungsrelationen. D.h. die Ordnungsrelation wird bei konstantem Rang wiederholt und zu einer Kette verkn�pft. Doch diese Operation der Superposition l�sst sich nun selber wiederum in einer Mikroanalyse als Chiasmus von Anfang und Ende der verkn�pften Ordnungsrelationen thematisieren, womit ein akkretives Moment der Iteration erscheint. Entsprechend lassen sich bei der Akkretion iterative Strukturen im Sinne etwa einer Superposition von Koinzidenzrelationen analysieren. Es zeigt sich, dass das chiastische Spiel auch auf die Unterscheidung von Iteration und Akkretion angewandt werden muss. Enstprechend gilt auch hier die vollst�ndige Formel als Viererstruktur von Iteration der Iteration, Akkretion der Iteration, Iteration der Akkretion und Akkretion der Akkretion als minimale Bestimmung der Verh�ltnisse des vollst�ndigen Chiasmus.
Entsprechend lassen sich verschiedene Formen der Superposition von Iteration und Akkretion vornehmen. Begriff wie balanzierte, unter- und �berbalanzierte Chiasmen sind als Folge der verschiedenen Applikationsweisen der Iteration und Akkretion einzuf�hren. Spannt die reine Iteration und Akkretion von Chiasmen ein Feld auf, lassen sich verschiedene zellul�re Figuren, Tessellationen, Mosaike als Verortung von Chiasmen und damit gegenl�ufiger Formalismen, Algebren und Ko-Algebren, zwanglos realisieren.
Bis dahin sind einzig die strukturellen Minimalbedingungen chiastischer Konstellationen, n�mlich ihre Bestimmung als Komplexion bin�rer Umtausch-, Ordnungs- und Koinzidenzrelationen, eingef�hrt und untersucht worden. Der dabei ben�tigten Begriff der Relation ist �usserst allgemein gefasst und einzig in seine allgemeine Konstituenten Relator", Relatum", Relation" ausdifferenziert worden. Entsprechend ist die Situation f�r die Termini Operator, Operand, Operation. Ebenso ist der Bezug zur Relationslogik, welcher Provenienz auch immer, ausgeblendet worden. Chiasmus, relativiert auf Relationen, ist weitgehend, und absichtlich, intuitiv und nicht im formalistischen Sinne gebraucht worden. Ebensowenig ist die Bestimmung des Charakters der Verkn�pfungsrelation bzw. -Operation der verschiedenen, den Chiasmus konstituierenden Relationen, ausgeklammert geblieben.
So sind nahliegenderweise Erweiterungen denkbar, wenn die Chiasmen nicht auf bin�ren Relationen, sondern auf genuin nicht-bin�ren Relationen, etwa triadisch-trichotomen (Peirce, McCulloch), basiert werden. Es scheint weniger ein Problem zu sein, diese komplexen Relationen chiastisch zu vermitteln, als vielmehr �berhaupt genuin, d.h. nicht reduzierbare nicht-bin�re Relationen zu einer solchen Vermittlung zu finden.
Auf einer applikativen Ebene, d.h. einer Anwendung bin�rer Relationen und Operationen zu beliebigen n-�ren Gebilden, sind keine neuen Regeln f�r eine Chiastifizierung erforderlich. So kann z.B. die urspr�nglich bin�re Ordnungsrelation durch Superposition jede beliebige Kompliziertheit annehmen.
Ebenso kann versucht werden, Differenzierungen in die chiastischen Grundrelationen einzuf�hren und entsprechend von einer Vielzahl von Ordnungs-, Umtausch- und Koinzidenzrelationen auszugehen. Es handelt sich dann um eine Auff�cherung des Chiasmus in verschiedene Aspekte.
Ein vierstelliger Chiasmus ist das Grundobjekt in einer allgemeinen Chiastik. Die Kunst ist, weitere genuine Verkn�pfungsoperationen, zus�tzlich zur immanenten Applikation und zu den Modi der Iteration und Akkretion, zu finden bzw. zu erfinden.
Vom Standort des vollst�ndigen Chiasmus lassen sich alle Relationen, einzeln wie zusammen, auszeichnen und als Ausgangspunkt einer Thematisierung ins Spiel bringen. Wesentlich ist einzig, dass der Chiasmus als Vermittlungsmechanismus garantiert ist, selbst wenn er nicht als vollst�ndiger Chiasmus vorgegeben ist und noch vervollst�ndigt werden muss.
Auf dieser Basis ist es eine durch die Tradition bedingte Entscheidung, dass der Graph, der eine jeweilige Theorie mitkonstituiert, ein geordneter Graph, d.h. eine Ordnungsrelation bzw. eine Hierarchie darstellt. Dies entspricht der rationalen Denkweise wie sie insb. in der Mathematik formalisiert ist und wie sie besonders deutlich in der mathematischen Kategorientheorie mit ihren kommutativen Graphen zur Darstellung kommt.
Die Aufbauordnung bzw. die Gewichtung des Chiasmus l�sst sich sehr wohl auch anders vornehmen. Als Theoriebasis k�nnen durchaus rein polare bzw. oszillierende Konzeptionen dienen. Die Theorie w�re dann nicht auf der Basis von Ordnungsrelationen definiert, sondern auf der Basis von Umtauschrelationen. In einer solchen polaren, oszillierenden Theorie g�be es kein ausgezeichnetes Objekt, das als Ziel bzw. als das Wahre dienen k�nnte. Denn beide Pole, hier beschr�nkt vorerst einzig auf zwei, d.h. eine Dyade, sind gleichurspr�nglich und in ihrer Wertigkeit �quivalent (Heterologie).
Dass einer Vermittlungstheorie nicht Gen�ge getan wird, wenn sie, wie bisdahin, trotz aller weitreichender Explikationen, einzig extern und global bestimmt wird, hat Gotthard G�nther in seinen wenigen Arbeiten zur sog. Kontextwertlogik und der "founding relationship" gezeigt. Die founding relation versucht eine Komplexion insofern intern und lokal zu beschreiben, als sie die Relationen der Komplexion von deren Objekten aus, die als jeweilige Standpunkte dienen, thematisiert bzw. definiert.
Diese Gedanken sollen hier, auch schon nur deswegen, weil sie so gut wie unbekannt sind, aufgenommen und zur weiteren Charakterisierung des Chiasmus hinzugenommen werden.
Kontextlogische Relationen des Chiasmus
(A, B); C: vom Standpunkt C aus besteht zwischen A und B eine Ordnungsrelation.
(B, C); A: vom Standpunkt A (Objekt) besteht zwischen B und C eine Umtauschbeziehung
(B, C); D: vom Standpunkt D (Objekt) besteht zwischen B und C eine Umtauschbeziehung
Wie stellen sich, nachdem die �berg�nge vollzogen wurden, dem Agenten die vollzogenen Relationen dar? Was bedeutet nun die Ordnungsrelation? Dies wird nun nicht abstrakt ins Spiel gebracht, sondern in Abh�ngigkeit einer eingenommenen Position. Also, wie stellt sich die Ordnungsrelation zwischen A und B vom Standort C aus dar? Inwiefern unterscheidet sich diese Ordnungsrelation zwischen A und B von C aus, wenn sie von D aus thematisiert wird? Entsprechend kann die Ordnungsrelation zwischen C und D von A aus oder von B aus thematisiert werden.
F�r all diejenigen, die immer wieder eine r�umliche Darstellung der Proemialit�t erwartet haben, kann ich nun, aufgrund didaktischer und propagandistischer Kompromisse, den ultimativen proemiellen W�rfel (proemial cube) anbieten.
Gewiss m�ssen die Umtauschverh�ltnisse des Chiasmus simultan, bei 2 Systemen, wie hinl�nglich beschrieben, von beiden Positionen aus vollzogen werden. Soll dies auch (noch) visualisiert werden, erhalten wir eine r�umliche Darstellung der Verh�ltnisse. Eine weitergehende Explikation dieses Schrittes findet sich in meinem eBook DERRIDA`S MACHINES, 2003.
Die verschiedenen vollst�ndigen und unvollst�ndigen Chiasmen lassen sich als Typologie der verschiedenen Formen der Interaktivit�t von den verschiedenen ges�ttigten beliebiger Komplexit�t zu all den Redukten wenig vollst�ndiger bzw. kaum gelingender Interaktivit�t verstehen.
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