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Strukturationen der Sprünge zwischen rechnenden Räumen
Transkontexturale Übergänge sind chiastischer Natur. Doch wie entstehen sie? Oft wird dieser mit einem Umschlag von Quantität in Qualität unter Berufung auf Hegel beschrieben. Gewiss mögen sog. ultra-astronomische Zahlen eher Qualitäten, denn echte, d.h. abzählbare Quantitäten darstellen. Wegen der Hülleneigenschaft arithmetischer Systeme, führt in diesen allerdings kein Weg aus der Kontextur der Zahlen heraus, mögen diese noch so gross sein. Kontexturwechsel haben so gesehen mit Quantitäten nichts zu tun. Jede beliebige Zahl wird schrittweise aus ihren Vorgängerzahlen erzeugt. Zu jeder beliebigen Zahl n gibt es eine Nachfolgerzahl n+1. Keiner dieser Zählschritte eines arithmetischen Systems wird je aus dem Bereich der natürlichen Zahlen hinausführen. Noch wird es für irgend zwei Zahlen eine Lücke, eine Abgrund zwischen ihnen geben. Ein Kontexturwechsel ist im Spiel der Metapher des Schrittes nicht zu vollziehen. Der Schritt muss durch einen Sprung übersprungen werden, soll ein Kontexturwechsel möglich werden.
Kontexturwechsel werden bei Günther als transkontexturale Übergänge eingeführt. Danach ist ein transkontexturaler Übergang nur dann vollzogen, wenn an ihm sowohl iterative wie akkretive Schritte beteiligt sind. Ein Kontexturwechsel ist chiastisch dann, wenn er in seiner Gegenläufigkeit beschrieben wird als Weg-hin und Weg-her.
Ein linguistischer bzw. reflexionslogischer Operator für Kontexturwechsel ist die als-Funktion wie sie auch bei der Evokation von Neuem im Spiel ist. Etwas als etwas anderes zu thematisieren, heisst dieses Etwas in einer anderen Kontextur zu setzen.
Der Chiasmus als Teilsystem der Proemialrelation ist nach Gotthard Günther eine viergliederige Relation, ein Wechselspiel, "interlocking mechanism", zwischen Ordnungs- und Umtauschrelationen, die jeglicher Relationalität vorangeht. Der Chiasmus gibt an, wie die Dissemination realisiert wird, er ist ihr Mechanismus. Die chiastische Verteilung (Distribution) von Gegensätzen und Gegenläufigkeiten ist die Explikation der Dissemination in der Vielheit ihrer irreduziblen Bedeutungen.
Der Chiasmus besteht aus einer Ordnungs-, einer Umtausch- und einer Koinzidenz-Relation und den Orten über die er verteilt wird. Die Ordnungsrelation regelt das Verhältnis zwischen Operator und Operand, die Umtauschrelation den Funktionswechsel zwischen Operator und Operand und die Koinzidenzrelation garantiert die kategoriale Zusammengehörigkeit (Koinzidenz) der Operationen und ihrer Objekte (Operator, Operand), und die Orte zeigen die Dissemination der Operationen an.
Die selbe Sprechweise wie für Operator/Operand gilt auch für die Unterscheidungen Relator/Relatum, Funktor/Funktionswert (Funktum), Objekt/Morphismus, usw.
However, if we let the relator assume the place of a relatum the exchange is not mutual. The relator may become a relatum, not in the relation for which it formerly established the relationship, but only relative to a relationship of higher order. And vice versa the relatum may become a relator, not within the relation in which it has figured as a relational member or relatum but only relative to relata of lower order.
Ri+1(xi, yi) is given and the relaturn (x or y) becomes a relator, we obtain
Ri (xi-1, yi-1) where Ri = xi or yi. But if the relator becomes a relatum, we obtain
Ri+2(xi+1, yi+1) where Ri+1 = xi+1 or yi+1. The subscript i signifies higher or
We shall call this connection between relator and relatum the 'proemial' relationship, for it 'pre-faces' the symmetrical exchange relation and the ordered relation and forms, as we shall see, their common basis." Gunther
"But the exchange is not a direct one. If we switch in the summer from our snow skis to water skis and in the next winter back to snow skis, this is a direct exchange. But the switch in the proemial relationship always involves not two relata but four!"
Die proemial relationship wie sie von Günther in Cognition and Volition" eingeführt wurde, ist nicht identisch mit dem Konzept des Chiasmus, wie ich ihn hier definiere. Einmal ist der Chiasmus historisch betrachtet nur ein Aspekt der Proemialrelation, andererseits benutze ich ihn hier schrittweise als Explikation der Proemialrelation. Diese Explikation ist weit ausführlicher als die Günthersche und betont stärker die Simultaneität der Relationen. Die sog. Koinzidenzrelation bzw. kategoriale Gleichheit, die die Kompatibilität der verschiedenen Ebenen regelt, fehlt bei Günther gänzlich. Dazu kommt, dass der Gedanke der Proömialität bei Günther in zwei Formulierungen existiert, nämlich als founding relation (Fundierungsrelation) und als proemial relationship (Proemialrelation).
Die Proemialrelation (PR) verweist auf zwei Ebenen der Inskription, die Polykontexturalität und die Kenogrammatik, und auf die Verbindung zwischen beiden.
Die Inskription der Prozessualität der Vierheit des Chiasmus in der Kenogrammatik.
Thus the proemial relation represents a peculiar interlocking of exchange and order. If we write it down as a formal expression it should have the following form:
where the two empty squares represent kenograms which can either be filled in such a way that the value occupancy represents a symmetrical exchange relation or in a way that the relation assumes the character of an order." Gunther, p. 227
Die Formel suggeriert gewiss wieder eine Unterscheidung zwischen Operator und Operanden. Davor habe wir eben gerade gelernt, dass die proemial relationship die Bedingung der Möglichkeit, das Präludium bzw. eben das Proömium, jeglicher Relationalität und Operationalität darstellt.
Versteht man unter den Begriffen Relator und Relatum einer Proemialrelation klassische Termini der Relationenlogik, dann entsteht ein Zirkel in der Definition, positiver ausgedrückt, handelt es sich dann um eine unfundierte Definition. Diese Zirkularität ist jedoch nur dann zwingend, wenn im Sprachrahmen der Identitätslogik argumentiert wird. Die Vermittlung selbst, der interlocking mechanism zwischen den Relationen ist selbst nicht wieder eine dieser Relationen. Seine Struktur ist antinomisch.
Im Unterschied zur Güntherschen Vorlage zur Bestimmung der Proemialrelation als interlocking mechanism" (in meiner Terminologie als Chiasmus) soll hier unter dem Gesichtspunkt der skizzierten PolyKategorientheorie und der Methoden des Conceptual Graphs eine Explikation der Proemialität versucht werden.
Günther unterscheidet klar drei Konstituenten einer Relation:
"The relata are the entities which are connected by a relationship, the relator, and the total of a relationship and the relata forms a relation. The latter consequently includes both, a relator and the relata." Gunther
Günther hat dann, wie zur Genüge bekannt und wie weiter unten ausführlich entwikkelt, seine Proemialrelation als Wechselspiel, d.h. Als interlocking mechanism" zwischen den zwei Konstituenten Relator" und Relatum" entwickelt.
Eine Modellierung im Sinne der Polykontexturalität und der neuen Erkenntnisse aus der PolyKategorientheorie einbeziehend, muss selbstverständlich das gesamte Konstrukt der Relationalität bzw. Operationalität mit seinen drei Konstituenten "Relator, Relatum, Relation" proemialisiert werden und nicht bloss die dyadische Bestimmung von Relator und Relatum.
Der Conceptual Graph des Konstrukts Operation" zeigt seine kategoriale Bestimmung und diese ist fundiert in der Unizität, dargestellt durch die 1.
Der "interlocking mechanism" zwischen Operator bzw. Relator und Operand bzw. Relatum je Position bzw. level" verändert bzw. verandert" (Theunissen) naheliegenderweise auch die Konzeptionalität der Relation als Ganzer. Dies ist evident, doch in grundlagentheoretischen Studien muss gerade das Evidente explizit gemacht und thematisiert werden.
Beide Relationen sind gemäss ihrer Distribuiertheit in sich vollständig charakterisiert und in ihrer Einzigkeit fundiert. Zugleich ist jedoch ihre Vielheit durch die Umtausch- und die Koinzidenzrelation in sich vermittelt.
Die Charakteristika des Chiasmus als einer Explikation der Proemialrelation müssen nun entsprechend des Graphen ergänzt werden durch die Bestimmungen für die Relation als Ganzer und die jeweilige Unizität.
Diese systemische, die Ganzheit der Operation bzw. Relation betrachtende Explikation der Proemialität garantiert, dadurch, dass alle benutzten Konstituenten distribuiert und vermittelt sind, eine irreduzible polykontexturale Bestimmung der Vermittlung von Relator und Relatum je Position, d.h. eine Dissemination der Relationalität ohne Rest. Wird die Operation als solcher und ihre Unizität nicht in den Distributionsmechanismus aufgenommen, besteht immer noch die Möglichkeit, die Proemialität von Operator und Operand in einer nicht-distribuierten Operativität aufzufangen.
Die Unizität hat zwei Funktionen. Einmal betont sie die Einzigkeit der Idee der Operationalität, fundiert auf einer allgemein anerkannten Intuition, die gewiss nicht innerhalb ihres Bereiches beweisbar ist, für die es jedoch gute Argumente und reichlich bestätigende Erfahrung gibt. Andererseit gibt die Unizität den Ort der jeweiligen Operationalität im Framework der Polykontexturalität an.
In diesem Sinne ist die Operationalität nach dem Modell der Kontextur verstanden. Eine Kontextur ist als Elementarkontextur einzig, als Teil einer Verbundkontextur ist sie eingebettet in eine Pluralität, d.h. in die Polykontexturalität.
Etwas technischer formuliert, ist die Unizität, mit einem Index versehen. Soll dies noch weiter reduziert werden, lässt sich die Vielheit der Unizität auf die Reihe der natürlichen Zahlen abbilden. Damit wird auch deutlich, dass es sich bei den bisher betrachteten Verteilungen um Disseminationen im Modus der Linearstruktur handelt. Oder anders ausgedrückt, die Frage nach der Struktur der Verteilung wurde bisdahin noch nicht in die Untersuchung miteinbezogen.
Mit der Abbildung auf die Reihe der Natürlichen Zahlen wäre auch ein System als Anfang der Reihe gesetzt. Wie inzwischen wohl plausibel geworden, entspricht ein Anfang dieser Art nicht einem chiastischen Entwurf. Entsprechend, wie anderswo, ist die Anfänglichkeit eines solchen Anfangs zu dekonstruieren und damit auch eine mögliche Ausgezeichnetheit der Reihe der natürlichen Zahlen.
In der Terminologie der Graphentheorie lassen sich alle Formen zwischen der Linear- und der Sternstruktur untersuchen. Allgemeiner formuliert, basiert eine Distribution auf einer Topologie fundiert in der Kenogrammatik.
Umtausch-, Ordnung- und Koinzidenrelationen zwischen Operation, Operand, Operator, Operationalität und Unizität sind entsprechend einzuführen und formal wie inhaltlich zu interpretieren.
Es zeigt sich, dass die polykategoriale Explikation der Proemialrelation nicht mit einem Chiasmus allein, sondern mit einer Mehrzahl von Chiasmen geschieht. Eine Abstraktion von dieser Vielheit inskribiert sich in der Kenogrammatik der Proemialität.
Dass ein Chiasmus zwischen Operator und Operand, wie wir ihn zur Genüge kennen, den Begriff der jeweiligen Operation tangiert, ist leicht einzusehen. Ebenso, dass eine differente Konzeption der Operation in einer entsprechend differenten Konzeption der Operationalität fundiert ist und ein Chiasmus bzw. eine Umtauschbeziehung zwischen beiden, Operation und Operationalität, verteilt über verschiedene Systeme, sinnvoll möglich ist.
Schwieriger scheint es, einen Chiasmus zwischen der jeweiligen Unizität und der Operationalität der differenten Systeme zu denken. Vor allem dann, wenn die jeweilige Unizität für Notationszwecken durch natürliche Zahlen dargestellt werden. Die Situation ist analog der Situation der Chiastifizierung der Natürlichen Zahlen. Auch hier vollzieht sich der Umtausch nicht auf der Basis der konkreten einzelnen natürlichen Zahlen, sondern auf der Basis ihrer Funktionalität als Anfang" bzw. als Ende" eines Zählprozesses und deren Verteilung über die verschiedenen Systeme.
Die Unizität der einen Operationalität (Logik, Arithmetik, usw.) wird relativiert, in Gegensatz gesetzt zur Existenz einer anderen Operationalität in einem Nachbarsystem. Damit wird zweierlei ausgesagt, es gibt eine und nur eine Operationalität (in System1) und diese ist nicht einzig, sondern steht in Nachbarschaft zu einem anderen System, das selbst in einer Unizität begründet ist. Die Eins der Unizität ist einzig und hat seine Nachbarn für die dasselbe gilt. Für alle gilt, dass sie genau dann einzig sind, wenn sie nicht einzig sind.
Da diese Situation unter der Herrschaft des Monotheismus und seiner Onto-Theo-Logik, heute ist dies alles unter anderen Namen versammelt, emotional schwer nachvollziehbar zu sein scheint, verweise ich, auch hier, auf die Arbeiten Erik Hornungs (Der Eine und die Vielen. Ägyptische Gottesvorstellungen, Darmstadt 1971).
Eine einfache Unizität als Monas kann einzig gesetzt werden, sie kann jedoch den Prozess ihrer Setzung nicht reflektieren. Dies ist, um ein anderes Schlagwort zu bemühen, ihr "Blinder Fleck".
Die Unizität im Zusammenhang der Polykontexturalität gibt durch die Differenzsetzung der Verschiedenen Systeme und deren Unizität, die Möglichkeit der Explikation des Mechanismus der Setzung der jeweiligen Unizität an.
Die gegenseitige Fundiertheit von Einzigkeit und Andersheit lässt sich in der folgenden paradoxen Formulierung zusammenbringen.
Die Einzigkeit ist fundiert in der Andersheit der anderen Einzigkeit und die Andersheit ist fundiert in der Einzigkeit der anderen Andersheit. Und die Fundierung fungiert als die Einzigkeit der Andersheit und als die Andersheit der Einzigkeit . Man könnte dies als Formulierung des heterologischen Prinzips anführen.
Wird diese Formulierung als Beschreibung der Verhältnisse des Diagramms gelesen, fällt sie bedeutend weniger paradox aus.
Aufgrund dieser gegenseitigen Fundiertheit, lässt sich eine weitere paradoxale Eigenschaft hervorheben: die Selbstbezüglichkeit des jeweiligen Systems.
s. Kaehr, Kalküle für Selbstreferentialität oder selbstreferentielle Kalküle?
Die Explikation der Proemialität durch Günther lässt sich am ehesten als Chiasmus verstehen. Dieser ist ein Teilsystem der vollen Explikation wie sie durch die polykategoriale Darstellung mithilfe des Conceptual Graph angegeben wurde.
In der Literatur zur Polykontexturalität werden mindestens drei verschieden Darstellungsformen des Modells des Chiasmus benutzt: das heliktische (umrankende), das kaskadische (stufenförmige) und das zyklische Modell des Chiasmus. Alle drei sind formal völlig identisch, betonen in ihrer leicht verschiedenen graphischen Darstellung jedoch unterschiedliche Aspekte des Chiasmus. Das zyklische betont mehr die Geschlossenheit der Figur, das heliktische und das kaskadische mehr die rankende bzw. die stufenförmige Offenheit des Modells. Dies kommt insb. in seiner generellen über mehr als vier Positionen entwickelte Modell zur Geltung. Der Chiasmus in seiner Grundform, d.h. mit vier Positionen, ist als Minimalsystem zur Erzeugung chiastischer Figurationen beliebiger Kompliziertheit und Komplexität zu verstehen.
Ein proemielles Objekt PrObj wird definiert durch seinen Typ typ, seinen Rang rang und seine Kategorie kat, also durch
Klassischerweise hat ein (identitives) Objekt auch seine entsprechenden Attribute und ist Element von Sorten.
Der Typ gibt die Unterscheidung von Operator und Operand an.
Der Rang gibt den Index, d.h. die Positionalität, den Ort der Distribution des Typs an.
Die Kategorie gibt das Verhältnis zwischen zwei Objekten mit dem selben Typ und verschiedenem Rang an.
Der Begriff der Kategorie kat (nicht zu verwechseln mit der Kategorie im Sinne der mathematischen Kategorientheorie) liefert (hier) eine Explikation der polykontexturalen Gleichheit. (Diese ist nicht zu verwechseln mit der Äquivalenz der Kenogrammatik.)
Zwei Objekte O und O´ sind pkl-gleich, jedoch nicht identisch, nicht dieselben, wenn sie in ihrer Kategorie übereinstimmen und sich in ihrem Rang unterscheiden. Objekte aus einer Kategorie sind untereinander gleich, d.h. sie sind typengleich, von selben Typ jedoch von verschiedenem Rang. Objekte sind untereinander pkl-selbig, wenn sie in ihrem Typ und ihrem Rang übereinstimmen. Objekte sind untereinander pkl-verschieden, wenn sie in ihrem Typ und ihrem Rang nicht übereinstimmen.
Objekte sind gleich im klassischen Sinne, d.h. identisch, wenn sie in allen ihren Attributen übereinstimmen, divers, wenn sich in mindestens einem ihrer Attributen unterscheiden. Sind Objekte identisch, dann stimmen sie auch in Typ, Rang und Kategorie überein, d.h. sie sind selbig im Sinne der PKL.
Auf der Basis der gegebenen Definition Proemieller Objekte PrObj lassen sich Operationen der Generierung komplexer Gebilde definieren. Die zwei Grundoperationen sind dabei die Operation der Iteration und der Akkretion von proemiellen Objekten.
Die Iteration wiederholt das proemielle Objekt unter Bewahrung seiner Komplexität, die definiert ist durch die Mächtigkeit seines Ranges. Erweitert wird durch die Iteration der Bereich des Typs. Sie generiert pkl-selbige Objekte.
Die Akkretion wiederholt das proemielle Objekt unter Bewahrung seiner Komplikation, definiert durch die Anzahl der Typen. Die Akkretion erweitert die Domäne des Ranges des Objekts, sie generiert pkl-verschiedene Objekte.
Auf der Basis der Unterscheidung von Attribut, Typ, Rang und Kategorie, lassen sich verschiedene Objektklassen bzw. Typen der Objektionalität definieren.
1. Proemielles bzw. chiastisches Objekt
2. Semiotisches Objekt als triadisch-trichotomes Redukt, Kategorie
3. Duales Objekt, Zwei-Seiten-Form, Polarität, Gegensatz, Antagonismus
4. Primordiales Objekt, identitives Objekt, Individuum als Attributenträger.
Interessant ist nun, diese Klassifikation mit den programmiersprachlichen Objekten in Verbindung zu bringen: Vom Teilprogramm, Modul, Objekt, zum intelligenten Agenten und weiter.
Aufgrund all der Konstruktionen lässt es sich fragen: Was ist nun das Objekt, das in solchen polykontexturalen Systemen interagiert?
Die Antwort scheint naheliegend zu sein. Es ist das Objekt, das teilhat an den verschiedenen Computations innerhalb des Systems.
Dies kann von einer monokontexturalen zu einer hochkomplexen polykontexturalen Objektionalität reichen. Ebenso kann das Objekt im Verlauf der Prozedur der Computation sich in seiner Komplexität verändern. Es ist objektional dynamisch.
Die Veränderung kann auf einer Datenebene durch den Wechsel von logischem Universum und Sorte bzw. zwischen Logik und Datenstruktur des Objekts geschehen.
Klassische Objekte haben eine vorgegebene Datenstruktur. Transklassische Objekte haben eine dynamische Datenstruktur.
Damit die Dualität in einem System formuliert werden kann, muss vorerst die Koinzidenzrelation etabliert sein. Dies wird im allgemeinen nicht zum Thema, sondern ist stillschweigende Voraussetzung, motiviert dadurch, dass beide Satzsysteme Teile des selben formalen Systems darstellen. Das Zueinanderpassen der beiden Teilsysteme muss nicht erst etabliert, sondern kann in solchen Situationen problemlos vorausgesetzt werden.
Zwischen zwei Dualobjekten besteht eine Ordnungsrelation in dem Sinne, dass ein Dualobjekt dem anderen gegenüber ausgezeichnet wird. Es wird etwa Thema weiterer Untersuchungen oder Beweise und das andere verbleibt unthematisisch im Hintergrund.
Der Dualität zwischen zwei Objekten entspricht die Umtauschrelation, oft realisiert mithilfe der Negation bzw. mit Negationssystemen.
Die Koinzidenrelation wie auch die Positionierung der Dualität wird durch das System innerhalb dessen die Dualität definiert wird als Voraussetzung gegeben.
Insofern Dualität intra-kontextural, etwa innerhalb eines logischen Systems, thematisiert wird, entsteht hiermit auch kein Problem. Die Situation ist verschieden, wenn zwei fremde Systeme sich tangieren und der Prozess der Dualisierung vollzogen werden soll, so dass als Resultat zwischen den Systemen eine Dualität als struktureller Zusammenhang gebildet ist.
Der vollständige Chiasmus ist formal definiert durch das 4-Tupel:
<Ordnung, Umtausch, Koinzidenz, Ort> bzgl. passender Objekte.
Ordnungsrelation ist fundiert in der Typendifferenz von Relator und Relatum, bzw. von Operator und Operand und seinem Rang der Distribution. Die Typendifferenz von Relator und Relatum ist fundiert in der Kategorie der Operatoren und Operanden je Rang.
Umtauschrelation ist fundiert in der Differenz zwischen verschiedenem Rang und je verschiedenem Typ und der Koinzidenz der dualen Typen in derselben Kategorie.
Koinzidenzrelation ist fundiert in der Kategorie der Typen je Rang. Sie gibt die Gleichheit im Sinne der PKL der Ordnungrelationen an.
Positionsrelation gibt die Verschiedenheit der Ordnungsrelationen als distribuierter an. Sie ist fundiert in der Umtausch-, Koinzidenz- und Ordnungsrelation.
Alle Charakteristika des Chiasmus fundieren sich gegenseitig. Keine Relation innerhalb des Gefüges des Chiasmus existiert ohne die anderen. Alle Konstituenten des Chiasmus als eines Gefüges gelten zugleich. Die Betonung der Simultaneität der Bestimmungen des Chiasmus erzeugt auch einen Unterschied in der Explikation der Proemialrelation zur Güntherschen Fokussierung auf den mehr kaskadischen Aspekt der proemial relationship.
Jede einzelne Relation, wie auch zusammengesetzte Relationen, können für sich als Redukte und Derivate des Chiasmus fungieren.
- Aufgefundene oder eingeführte Ordnung zwischen Objekten, damit Bestimmung der jeweiligen Objekte als Objekte dieser Ordnung,
- Konstruktion einer Gegenläufigkeit zur ersteren Ordnung,
- Auffinden eines Umtauschs zwischen den Operationsgliedern
- Erstellung einer Koinzidenzrelation im Sinne einer kategorialen Gleichheit zwischen Operatoren und Operanden der jeweiligen Stufen,
- Bestimmung von Orten bzw. Angabe der Stufen, die von den Operationen (Ordnungsrelationen usw.) eingenommen bzw. dadurch eröffnet oder erschlossen werden.
Eine weitere Präzisierung der Einführung des Chiasmus, basierend auf der Intuition der Proemialrelation, lässt sich erzielen durch den Gebrauch und den Vergleich von kategorientheoretischen Begriffen.
Einmal lässt sich zeigen, dass der Begriff der Kategorie auf einer Ordnungsrelation beruht und dass die Komposition von Morphismen auch als verdeckten Chiasmus gelesen werden kann.
Andererseits lässt sich der Chiasmus als eine Kategorie Einführung, die nicht bloss auf einer Ordnungsrelation basiert, sondern zusätzlich die Relationen der Koinzidenz und des Umtauschs involviert.
Die Kommutativität von Morphismen einer Kategorie kennt nur Ordnungsrelationen. Bei der Verknüpfung von Morphismen wird allerdings eine Umtauschrelation bezüglich Domain und Codomain benutzt. Dieser Umtausch wird als solcher jedoch nicht reflektiert und ist aufgrund der extensionalen mengentheoretischen Ausrichtung dieser Begriffsbildungen wohl auch irrelevant.
So wird die Verknüpfung (f*g)=h, definiert durch die Domain- und Codomaingleichungen: D(f)=D(h)
Kategorien lassen sich somit charakterisieren als Ordnungs-, Umtausch- und Koinzidenzrelationen bzgl. Domain und Codomain eines Morphismus bzw. der Verknüpfung von Morphismen. Sie unterscheiden sich jedoch nicht in ihrer Positionalität. Damit ist jede Kontexturdifferenz aufgehoben und ein rein extensionaler Zusammenhang etabliert. In diesem Sinne lässt sich die Konzeption einer Kategorie als Spezialfall einer Proemialrelation bzw. eines Chiasmus interpretieren.
Diese extensionale Sichtweise findet ihren Niederschlag in den Axiomen, die eine Kategorie weiter bestimmen: Identität, Kommutativität und Assoziativität der Morphismen.
Eine sehr formale Einführung des Begriffs der Kategorie gibt Peter Gumm:
Definition 3.1. A category C consists of a class Co of objects A, B, C, . .. and a class Cm of morphisms or arrows f,g,h,... between these objects together with the following operations:
associating with each arrow its source (domain), resp. its target (codomain), and with every object A its identity arrow idA. Moreover there is a partial operation (o) of composition of arrows. Composition of f and g is defined whenever codom(f ) = dom(g). The result is a morphism go f with dom(g o f ) = dom( f ) and codom(g o f ) = codom(g). The following laws have to be satisfied whenever the composition is defined:
idA o f = f and g = g o idA." Peter Gumm
Wichtig für das Verhältnis von Intuition und Formalisierung ist auch zu sehen, dass die Objekte der Kategorientheorie nicht einfach Mengen sind, sondern Klassen. Nun ist aber der Begriff der Klasse in der Mengenlehre, wo er herkommt, äusserst problematisch. Diese Problematik zu übersteigen war auch eines der wesentlichen Motive zum Entwurf der Kategorientheorie (Mengen, Klassen, Konglomeraten, Universen,...).
Der Chiasmus lässt sich aufgrund der Bestimmungen Domain und Codomain eines Morphismus modellieren. Je Ordnungsrelation gelten die klassischen Bestimmungen. Zwischen Umtausch- und Koinzidenzrelation gelten die Bestimmungen verteilt über die verschiedenen loci. Wichtig ist, dass als zugrundeliegende Logik dieser Bestimmungen die polykontexturale Logik mit ihren Verbund-Operatoren und Transjunktionen fungiert.
Bei den erfolgten Darstellungen des Chiasmus, der relationalen, kategoriellen und typentheoretischen", fragt es sich unweigerlich, wo denn der eigentliche Clou abgeblieben ist. Lässt sich das Ganze nicht einfach relational und kategorial innerhalb klassischer Begrifflichkeiten modellieren? Sind nicht die Umtausch- und die Koinzidenzrelation klassische Relationen und darstellbar als klassische Morphismen? Was für die Ordnungsrelation ohnehin gilt, dass sie ein klassischer Morphismus darstellt, könnte doch ohne Umstände auch für die Umtausch- und die Koinzidenzrelation gelten. Ist die Umtauschrelation nicht durch eine Involution darstellbar und die Koinzidenzrelation nicht einfach eine Identität? Noch suggestiver ist die Situation der Vermittlung von Kategorien durch die Proemialrelation. Handelt es sich dabei nicht einfach um einen Isomorphismus zwischen Kategorien?
Die Kategorientheorie geht von einer sehr simplen und fundamentalen Intuition aus: es gibt Objekte und es gibt Morphismen (zwischen diesen Objekten) für die eine assoziative Komposition gilt. Jedem Objekt ist ein Identitäts-Morphismus zugeordnet. Und mehr ist nicht verlangt, um den Bereich des Mathematischen und auch der Logik sukzessive zu definieren bzw. zu rekonstruieren.
Die Graphematik dagegen geht von der Grundintuition aus, dass zu ihrer Einführung vier fundamentale relationale Begrifflichkeiten im Spiel sind: die Ordnungs-, die Umtausch-, die Koinzidenz- und die Verortungsrelation. Dies bezogen auf Objekte, die sich vom klassischen Objekt durch deren irreduzible Komplexität und Ambiguität unterscheiden. Die Objekte des Chiasmus sind Komplexionen und somit selbst wiederum Chiasmen. Alle vier relationale Bestimmungen des Chiasmus bzw. der Proemialität sind simultan im Spiel und lassen sich nicht aufeinander abbilden.
Wird diese Intuition akzeptiert, ist klar, dass die Umtauschrelation nicht einfach eine gegenläufige bzw. doppelte Ordnungsrelation darstellen kann, da die Ordnungsrelation nicht zwischen logischen Ebenen, sondern nur innerhalb derer definiert ist. Entsprechend gilt dies auch für die Koinzidenzrelation, die nicht innerhalb eines logischen Ortes, sondern zwischen logischen Orten definiert ist. Ebensowenig wie sich die Koinzidenzrelation auf einen Morphismus zurückführen lässt, lässt sie sich als eine Umtauschrelation definieren. Damit ist die Problematik in den Bereich der Orte verschoben. Wie lassen sich Orte unterscheiden so dass sie sich der Vereinheitlichung durch einen Morphismus entziehen können? Orte lassen sich numerieren. Damit sind wir zurück in der Peano-Falle. Doch wer sagt, dass Zahlen einzig sich nach den Peano-Axiomen verhalten? Wenn die Zahlen, die den Orten zugeordnet sind, sich als Anfänge verschiedener distribuierter Peano-Systeme erweisen, sind wir aus der Peano-Falle. D.h., wir haben ein Kriterium bzw. einen Mechanismus, die Orte zu separieren, der nicht auf die natürlichen Zahlen angewiesen ist. Doch woher haben wir die disseminierten Peano-Systeme...? Natürlich durch Färbung der Orte, doch... usw. Doch wozu sollte sich die polykontexturale Arithmetik strikt begründen lassen, wenn dies der Peano-Arithmetik bisdahin nicht gelungen ist?
Zwei Gedanken sind hier zu explizieren: die Simultaneität der Bestimmungen und deren Heterogenität. Gelingt dies, dann ist der Übergang vom Leitfaden des Isomorphismus zum Paradigma des Heteromorphismus, kurz von der Mathematik zur Graphematik, im Prinzip vollzogen.
Morphismen sind strukturerhaltende Abbildungen.
Angenommen, die Proemialrelation lässt sich in der Terminologie der Morphismen einführen. Was geht dabei verloren?
Ist die Intuition der Proemialität gegeben, dann lässt sich die Proemialrelation, zumindest in einem ersten Schritt, mithilfe von Morphismen modellieren.
Dies ist in aller Ausführlichkeit in der Arbeit von Jochen Pfalzgraf bzgl. der sog. Vermittlungsbedingungen für eine polykontexturale Logik geschehen. Die Vermittungsbedingungen haben die Form eines Chiasmus.
Werden Isomorphie-Aussagen über ein System gemacht, dann gibt es zwei Möglichkeiten die Aussage zu verorten, sie kann der Metasprache, hier etwa die Kategorientheorie, zugeordnet werden oder aber der Isomorphismus erzeugt ein neues System auf der Objekt-Sprachenebene.
Nun kommt ja die Kategorientheorie nicht unschuldig und ohne Voraussetzung in die Welt der Mathematik. Wenn auch der Mathematiker sich nicht notwendigereise auch mit der der Kategorientheorie zugrundeliegenden Logik oder gar Semiotik auseinandersetzen muss, oder gar davon ausgeht, dass auch die Logik selbst kategorientheoretisch eingeführt werden kann, muss er doch, wenn er Definieren und Beweisen will, sich einer Logik bedienen. Ebenso muss er irgendwelche Aussagen über seine Objekte machen. Dabei kann er sich leicht, zumindest zum Einstieg, auf die Erfahrungen mit der Mengenlehre beziehen.
Was ist nun der relationale Unterschied zwischen der Umtausch- und der Koinzidenzrelation?
Das Gemeinsame ist, dass sie nicht innerhalb eines logischen Ortes, sondern zwischen verschiedenen logischen Orten definiert sind. Der Unterschied ist, dass sie bzgl. der Terminologie von Domain und Codomain je logischer Stufe verschieden definiert sind. Die Koinzidenzrelation ist naheliegenderweise verbunden mit der Gleichheit der Bestimmungen je Ebene, also Domain bzw. Codomain je Ebene koinzidieren. Entsprechend ist die Umtauschrelation durch die Verschiedenheit der Bestimmungen je Ebene definiert, als Domain bzw. Codomain der einen Ebene entspricht Codomain bzw. Domain der anderen Ebene. Da die Morphismen über den Termini Domain und Codomain definiert sind, lässt sich die Bestimmung von Umtausch und Koinzidenz legitimerweise über diesen Termini bestimmen und damit deren Unterschied begründen, es lässt sich diese Einführung auch nicht durch eine Abstraktion von diesen Termini eliminieren, da ja Domain und Codomain fundamental auch für die Morphismen (der Ordnungsrelation) sind. Eine Abstraktion von diesen Begriffen würde somit auch die Definition des Morphismus eliminieren. Damit wäre dann allerdings das Spiel für alle Beteiligten aus.
Diese Argumentation ist trivialerweise von der Terminologie der klassischen Kategorientheorie her gedacht. Die Benutzung von Termini wie Domain und Codomain zur Definition eines Chiasmus ist gewiss nicht unproblematisch. Die Art wie hier diese Termini benutzt werden, entspricht eher einer Dekonstruktion, d.h. Verkehrung und Verschiebung, denn einer strikten Applikation. Denn es verstösst gegen deren Definition, sie zwischen Logiken anzusetzen, da sie strikt innerhalb einer Logik definiert sind.
Eine andere Frage ist, wieweit sich eine polykontexturale Kategorientheorie ohne Rückgriff auf die klassischen Bestimmungen einführen lässt. So wie die Kategorientheorie auf einer bestimmten Intuition der Morphismenbildung beruht und eine Explikation über Objekte, Morphismen und Domains macht, liesse sich die polykontexturale Kategorientheorie direkt über die Intuition der Proemialität einführen, insofern auch, als in ihr die Ordnungsrelation eine Konstituente des Chiasmus darstellt und zur Bildung von Morphismen genutzt werden kann. In diesem Sinne erweist sich die Idee der Morphismen als ein Redukt einer chiastischen Strategie.
Auch Winkelwörter haben, wenn auch keine Strickmuster, ihre Striktheit. (Derrida, FORS, in: K. Abraham, M. Torok, Kryptonymie)
Angenommen, es seien verschiedene Kategorien gegeben und zwischen ihnen bestünde ein Isomorphismus, dann lässt sich dieser Isomorphismus in einen Heteromorphismus verwandeln, wenn auf die Heterogenität der Bereiche gesetzt werden will. Diese Möglichkeit ist in der Polykontexturalität begründet und lässt sich im klassischen Paradigma nicht realisieren.
Der Isomorphismus zwischen Kategorien, der in einer Logik formuliert wird, muss entsprechend entfädelt", separiert und in verschiedene Logiken verschoben werden. Als Folge davon, gilt nun zwischen den Kategorien nicht mehr ein Isomorphismus, sondern ein Chiasmus, dargestellt in der Umtausch- und Koinzidenzrelation, verteilt über verschiedene Logiken.
Heterogenität von Bereichen bzw. Systemen bedeutet nicht, dass diese nicht miteinander interagieren könnten. Im Gegenteil, strenge Interaktivität gelingt nur zwischen autonomen und damit heterogenen Systemen. Eine Homogenisierung ermöglicht Interaktion im Sinne eines Informationsaustausches basierend auf einem gemeinsamen Zeichenrepertoire.
Isomorphismen zwischen Kategorien sind eine Thematisierung und Konstruktion, die auf der Basis der eingeführten Konzeptionalität der Kategorie, also als ein methodisch nächster Schritt in der Systematik realisiert wird.
Eine Reduktion der Proemialität der PolyKategorien auf einen Isomorphismus würde vor allem eine Verwechslung der Ebenen der Systematik bedeuten. Dies ist dadurch leicht einsichtig zu machen, wenn die Konstruktion der Isomorphismen zwischen polykontextural fundierten, d.h. zwischen Polykategorien eingeführt wird. Selbstverständlich können Polykategorien in vielfälltigerweise untereinander isomorph sein. Die Isomorphie zwischen Kategorien ist eine abgeleitete bzw. aufbauend konstruierte Konzeption und ist nicht basal in der Definition der Kategorie enthalten. Polykategorien sind jedoch gerade auf dieser basalen Ebene entworfen.
Die Fokussierung auf eine Forschungsthematik produziert Aussagen, die als Antworten auf Fragen verstanden werden können, die meistens nicht selbst explizit thematisiert werden. Die DiamondStrategien helfen solche als Hintergrundsthematik laufenden und als verdeckte, den Fragekontext bildende Fragenkomplexe aufzudecken und der Thematisierung zugänglich zu machen.
Ebenso ist es Aufgabe der DiamondStrategien, die immanenten Limitationen des Fragens als Erfragen, Befragen bzgl. eines Gefragten aufzuweisen. Das Wechselspiel von Fragen und Antworten ist gewiss eine wichtige Form der Interaktion, doch nicht jede Interaktion hat die Form von Frage/Antwortsystemen.
Wie hängen die Operatoren (Operanden) der verteilten Systeme zusammen? Welche Zwischenstufen müssen eingeführt werden, damit das Ganze einen geistig und psychisch nachvollziehbaren Sinn ergibt? Was muss ergänzend syntaktisch wie semantisch konstruiert werden, damit der Gesamtmechanismus lauffähig, die Struktur vervollständigt ist?
Die Klärung des Zusammenhangs, der reflektierterweise nicht einfach vorausgesetzt werden kann, ist im chiastischen Modell verbunden mit der Aufgabe der Konkretisierung der Koinzidenzrelation, d.h. mit dem Auffinden/Erfinden der konkreten, für die Situation und den Kontext geltenden kategorialen Gleichheit(en) zwischen den Objekten (Kompatibilität).
Sind diese konstruiert, so ist der geltende Zusammenhang, die Vernetzung etabliert - vorher nicht. Kontexturale Abbrüche stellen die Obstakel der Vernetzung dar und können nur durch transkontexturale Operationen, die chiastisch strukturiert sind, überbrückt werden. Zudem können für eine Konstellation, je nach Interpretationsstandpunkt, oder Konnex, eine Fülle von kategorialen Zusammenhängen konstruiert werden. Wie weit liegen Gegensätze auseinander? Je Kontext ist die Distanz völlig verschieden. Für gelingende Kommunikation und Interaktion müßte diese Frage, zumindest im Hintergrund, geklärt bzw. klärbar, d.h. auch konstruierbar sein. Maschinen müssen daher Fragen stellen können, um ihre Interaktionsumgebungen auf Kompatibilität hin zu erfragen und zu befragen.
Soweit nicht vorgegeben, besteht die erste Aufgabe darin, zu jedem Begriff den passenden Gegenbegriff zu finden. Dies geschieht jedoch nicht immer über den einfachen Weg der Negation, also von computation" zu non-computation", schon nur deshalb nicht, weil es eine Vielheit von Gegensatztypen zu einem Begriff gibt und auch, weil die negative Bestimmung eines Begriffs, positiv nicht viel zur Klärung beiträgt.
Die zweite Aufgabe besteht darin, das zu dem gegebenen Begriffspaar passende second-order Begriffspaar zufinden. Dies kann oft leicht durch Diamondisierung, d.h. dem Auffinden bzw. der Konstruktion des weder/noch und des sowohl-als-auch des Gegensatzes geschehen.
Die dritte Aufgabe besteht darin, den Begriff zu finden, der weder das eine noch das andere des Gegensatzes markiert.
Die vierte Aufgabe besteht darin, den Gegensatz zur weder/noch-Markierung zu finden, dies jedoch in Abhängigkeit davon, dass die vierte Markierung des Begriffs dem sowohl-als-auch des ersten Begriffspaars entspricht.
Der durch die vier Schritte aufgebaute Diamond der dekonstruierten Begriffspaare ist als fünfte Aufgabe, mit den Grundrelationen des Chiasmus (Umtausch, Ordnung, Koinzidenz, Verortung) in Einklang zu bringen.
Position (Satz, Setzung, Anfang, Affirmation): es gilt A.
Opposition (Gegensatz, Umkehrung, Dualisierung, Reflexion) von A.
Akzeption (Zugleich, Ineins, Sowohl-als-Auch) von Position und Opposition von A.
Rejektion (Verwerfung, Weder-Noch) von Position und Opposition.
Diese Bestimmungen sind nicht auf die klassische Aussagenlogik zu beschränken. Sie werden multinegational und transjunktional im Sprachrahmen der polykontexturalen Logik (PKL) modelliert.
Der Zusammenhang zwischen Diamond und Chiasmus ist dadurch u.a. gegeben, daß ein Satz relational verstanden werden kann als Subjekt-Prädikat-Struktur. Jeder Satz enthält Terme, die sich negieren, dualisieren, invertieren, reflektieren usw. lassen und somit den Gegen-Satz produzieren. Der Gegen-Satz ist selbst wiederum ein Satz und nimmt entsprechend seinen Ort ein. Er realisiert somit die Ordnungsrelation und die Ortsbestimmung, die Positionierung.
Die Umtauschrelation läßt sich mit dem Weder-noch und die Koinzidenzrelation mit dem Sowohl-als-auch korrelieren. Der Umtausch für sich genommen, abstrahiert von seinen Relata, ist die Differenz und diese ist weder das eine noch das andere Relatum. Sondern der Umschlag, also der Exchange. Den zwei Umtauschrelationen des Chiasmus entspricht im Diamond der Doppelschritt von Satz und Gegen-Satz zur Distanz.
Der Zusammenhang zwischen dem Diamond und dem Chiasmus lässt sich dahingehend weitergehend formulieren, dass zwischen der Position gesetzt als Satz und der Opposition gesetzt als Gegen-Satz eine Hierarchie, d.h. eine Ordnungsrelation besteht. Auch wenn beide formal zueinander dual sind, wie etwa Tautologie und Kontradiktion, wird doch das eine, hier wohl die Tautologie als positiv und die Kontradiktion als negativ bewertet und dabei zusätzlich mit dieser Bewertung, das Positive dem Negativen vorgezogen. Wäre die Bewertung umgekehrt verlaufen, dann würde trotzdem eine Ordnungsrelation etabliert, eben die zur ersten duale, nämlich dass die Kontradiktion der Tautologie vorgezogen wird.
Ebenso sind die zwei Ordnungsrelationen über zwei Orte verteilt. Damit sind alle Konstituenten der Definition eines Chiasmus, nämlich Ordnungs-, Umtausch- und Koinzidenzrelation eingeführt.
Der Diamond ist die Struktur der DiamondStrategien. Diese sind als Strategien nicht nur für geistige Belange im Sinne einer Theorie denkender Leere von Bedeutung, sondern auch als Strategien formaler Systeme zur Erweiterung ihrer Selbstdefinition (Meta-Lernen im Gegensatz zu Adaption)).
Wurde bisdahin der Chiasmus als die Struktur der Übergänge zwischen rechnenden Räumen bestimmt, lassen sich die DiamondStrategien als Movens der Übergänge charakterisieren. Der Chiasmus zeigt die Struktur von schon vollzogener Übergänge auf, die DiamondStrategien zeigen, wie diese Übergänge zu vollziehen sind bzw. wie sie vollzogen werden können. Damit wird das volitive Moment der DiamondStrategien in Ergänzung des kognitiven des Chiasmus im Zusammenhang einer allgemeinen Theorie der Übergänge, d.h. der Chiastik, betont.
Bisdahin sind durch die DiamondStrategien Positionen geschaffen, eingenommen und untersucht worden. Damit ist gewissermassen ein Raumungsprozess, eine Dynamik des Einräumens vollzogen worden. Aufgrund dieser Einräumung von jeweils Positionen, lässt sich komplementär nach der Zeitigung der jeweiligen Positionen fragen. Welche Zeitmodi werden bei einer solchen Diamondisierung eröffnet? Eine erste, allerdings weitreichende Fragemodalität ist eingeführt durch die Fragen nach der Ermöglichung und Entmöglichung, die die jeweiligen Positionen bereitstellen. Diese zwei Grundfragen können in einer Befragung wechselnd auf die Anfangsaussage angewandt werden.
Die als-Funktion lässt reflexionslogische Sprech- und Thematisierungsweisen zu. Ein Objekt ist nicht einfach ein Objekt, sondern Etwas als Objekt ist ein Objekt. Also nicht A gleich B, sondern: A als B ist C. Damit erweist sich der Identitätssatz A ist A" als ein Redukt der Form A als A ist A".
Eine Kante ist eine Kante" wird zu eine Kante im System1 als Objekt des Systems2 ist ein Knoten", kurz: eine Kante als Anderes ist ein Knoten" oder eine Kante fungiert zugleich als Knoten". Die Bestimmungen Kanten und Knoten gelten nicht nacheinander, sondern zugleich. Ein Objekt ist Ineins Kante wie Knoten. Die klassische metatheoretische Dualität von Kanten/Knoten wird dekonstruiert in eine Simultaneität und Gegenläufigkeit der Bestimmungen. Die Bestimmung Objekt" gehört einem weiteren System der Reflexion an.
Transkontexturale Übergänge sind nicht immer vollständig bestimmt. Klassische hierarchische Systeme, oder klassische polare Systeme lassen sich als spezielle unvollständige Chiasmen interpretieren, für die keine transkontexturale Übergänge definierbar sind. Andere Unvollständigkeiten sind etwa transkontexturale Übergänge deren intra-kontexturale Strukturation nicht vollständig expliziert ist. Solche Übergänge gelten als unmotiviert und haben eine gewisse Hochkonjunktur im sog. Wilden Denken poststrukturalistischer Art (Rhizomatik) dem jedoch jegliche Formalisierungsfähigkeit abgeht.
Entsprechend tauchen solche unvollständige Chiasmen in der Computerwissenschaft auf. Einmal auf der Ebene der formalen Modelle des Berechenbaren selbst, aber auch auf der Ebene der Epistemologie der Maschinenmodelle und deren philosophische und medientheoretische Einbindung. Vielen fruchtbaren Modellen, die durch ihren Adhoc-Charakter auffallen, fehlt entsprechend eine Vervollständigung zu einem funktionierenden Chiasmus. Interessant sind auch die Zusammenhänge zwischen dem Betriebsystem und den Programmen. Es scheint auch, dass Teile des Chiasmus über die formale oder auch machinale Ebene und andere Teile über die interpretative mentale Ebene des Users verteilt vorkommen.
Die Viererstruktur des Chiasmus ist nicht eine dogmatisch gesetzte Basis, sondern das Erzeugendensystem komplexer Konfigurationen. Ihre Operatoren sind die Akkretion und die Iteration. Es kann hier nicht auf die Gesetzmässigkeiten der Vermittlung von Chiasmen eingegangen werden.
Die Akkretion chiastischer Strukturen erhöht die logisch-strukturelle Komplexität, die Iteration die Komplikation innerhalb einer gegebenen Komplexität und die volle Dynamik von Komplexität und Komplikation wird durch die Vermittlung von Iteration und Akkretion erreicht. Die Komplexität wird definiert durch die Mächtigkeit des Ranges bei konstantem Bereich des Typs. Die Komplikation wird definiert durch konstanten Rang und wachsendem Typ.
Wichtig ist zu betonen, dass die Unterscheidung von Iteration und Akkretion nicht absolut ist, sondern selbst wiederum chiastisch thematisiert werden kann. So ist etwa die reine Iteration eines Chiasmus zu verstehen als eine Superposition von Ordnungsrelationen. D.h. die Ordnungsrelation wird bei konstantem Rang wiederholt und zu einer Kette verknüpft. Doch diese Operation der Superposition lässt sich nun selber wiederum in einer Mikroanalyse als Chiasmus von Anfang und Ende der verknüpften Ordnungsrelationen thematisieren, womit ein akkretives Moment der Iteration erscheint. Entsprechend lassen sich bei der Akkretion iterative Strukturen im Sinne etwa einer Superposition von Koinzidenzrelationen analysieren. Es zeigt sich, dass das chiastische Spiel auch auf die Unterscheidung von Iteration und Akkretion angewandt werden muss. Enstprechend gilt auch hier die vollständige Formel als Viererstruktur von Iteration der Iteration, Akkretion der Iteration, Iteration der Akkretion und Akkretion der Akkretion als minimale Bestimmung der Verhältnisse des vollständigen Chiasmus.
Entsprechend lassen sich verschiedene Formen der Superposition von Iteration und Akkretion vornehmen. Begriff wie balanzierte, unter- und überbalanzierte Chiasmen sind als Folge der verschiedenen Applikationsweisen der Iteration und Akkretion einzuführen. Spannt die reine Iteration und Akkretion von Chiasmen ein Feld auf, lassen sich verschiedene zelluläre Figuren, Tessellationen, Mosaike als Verortung von Chiasmen und damit gegenläufiger Formalismen, Algebren und Ko-Algebren, zwanglos realisieren.
Bis dahin sind einzig die strukturellen Minimalbedingungen chiastischer Konstellationen, nämlich ihre Bestimmung als Komplexion binärer Umtausch-, Ordnungs- und Koinzidenzrelationen, eingeführt und untersucht worden. Der dabei benötigten Begriff der Relation ist äusserst allgemein gefasst und einzig in seine allgemeine Konstituenten Relator", Relatum", Relation" ausdifferenziert worden. Entsprechend ist die Situation für die Termini Operator, Operand, Operation. Ebenso ist der Bezug zur Relationslogik, welcher Provenienz auch immer, ausgeblendet worden. Chiasmus, relativiert auf Relationen, ist weitgehend, und absichtlich, intuitiv und nicht im formalistischen Sinne gebraucht worden. Ebensowenig ist die Bestimmung des Charakters der Verknüpfungsrelation bzw. -Operation der verschiedenen, den Chiasmus konstituierenden Relationen, ausgeklammert geblieben.
So sind nahliegenderweise Erweiterungen denkbar, wenn die Chiasmen nicht auf binären Relationen, sondern auf genuin nicht-binären Relationen, etwa triadisch-trichotomen (Peirce, McCulloch), basiert werden. Es scheint weniger ein Problem zu sein, diese komplexen Relationen chiastisch zu vermitteln, als vielmehr überhaupt genuin, d.h. nicht reduzierbare nicht-binäre Relationen zu einer solchen Vermittlung zu finden.
Auf einer applikativen Ebene, d.h. einer Anwendung binärer Relationen und Operationen zu beliebigen n-ären Gebilden, sind keine neuen Regeln für eine Chiastifizierung erforderlich. So kann z.B. die ursprünglich binäre Ordnungsrelation durch Superposition jede beliebige Kompliziertheit annehmen.
Ebenso kann versucht werden, Differenzierungen in die chiastischen Grundrelationen einzuführen und entsprechend von einer Vielzahl von Ordnungs-, Umtausch- und Koinzidenzrelationen auszugehen. Es handelt sich dann um eine Auffächerung des Chiasmus in verschiedene Aspekte.
Ein vierstelliger Chiasmus ist das Grundobjekt in einer allgemeinen Chiastik. Die Kunst ist, weitere genuine Verknüpfungsoperationen, zusätzlich zur immanenten Applikation und zu den Modi der Iteration und Akkretion, zu finden bzw. zu erfinden.
Vom Standort des vollständigen Chiasmus lassen sich alle Relationen, einzeln wie zusammen, auszeichnen und als Ausgangspunkt einer Thematisierung ins Spiel bringen. Wesentlich ist einzig, dass der Chiasmus als Vermittlungsmechanismus garantiert ist, selbst wenn er nicht als vollständiger Chiasmus vorgegeben ist und noch vervollständigt werden muss.
Auf dieser Basis ist es eine durch die Tradition bedingte Entscheidung, dass der Graph, der eine jeweilige Theorie mitkonstituiert, ein geordneter Graph, d.h. eine Ordnungsrelation bzw. eine Hierarchie darstellt. Dies entspricht der rationalen Denkweise wie sie insb. in der Mathematik formalisiert ist und wie sie besonders deutlich in der mathematischen Kategorientheorie mit ihren kommutativen Graphen zur Darstellung kommt.
Die Aufbauordnung bzw. die Gewichtung des Chiasmus lässt sich sehr wohl auch anders vornehmen. Als Theoriebasis können durchaus rein polare bzw. oszillierende Konzeptionen dienen. Die Theorie wäre dann nicht auf der Basis von Ordnungsrelationen definiert, sondern auf der Basis von Umtauschrelationen. In einer solchen polaren, oszillierenden Theorie gäbe es kein ausgezeichnetes Objekt, das als Ziel bzw. als das Wahre dienen könnte. Denn beide Pole, hier beschränkt vorerst einzig auf zwei, d.h. eine Dyade, sind gleichursprünglich und in ihrer Wertigkeit äquivalent (Heterologie).
Dass einer Vermittlungstheorie nicht Genüge getan wird, wenn sie, wie bisdahin, trotz aller weitreichender Explikationen, einzig extern und global bestimmt wird, hat Gotthard Günther in seinen wenigen Arbeiten zur sog. Kontextwertlogik und der "founding relationship" gezeigt. Die founding relation versucht eine Komplexion insofern intern und lokal zu beschreiben, als sie die Relationen der Komplexion von deren Objekten aus, die als jeweilige Standpunkte dienen, thematisiert bzw. definiert.
Diese Gedanken sollen hier, auch schon nur deswegen, weil sie so gut wie unbekannt sind, aufgenommen und zur weiteren Charakterisierung des Chiasmus hinzugenommen werden.
Kontextlogische Relationen des Chiasmus
(A, B); C: vom Standpunkt C aus besteht zwischen A und B eine Ordnungsrelation.
(B, C); A: vom Standpunkt A (Objekt) besteht zwischen B und C eine Umtauschbeziehung
(B, C); D: vom Standpunkt D (Objekt) besteht zwischen B und C eine Umtauschbeziehung
Wie stellen sich, nachdem die Übergänge vollzogen wurden, dem Agenten die vollzogenen Relationen dar? Was bedeutet nun die Ordnungsrelation? Dies wird nun nicht abstrakt ins Spiel gebracht, sondern in Abhängigkeit einer eingenommenen Position. Also, wie stellt sich die Ordnungsrelation zwischen A und B vom Standort C aus dar? Inwiefern unterscheidet sich diese Ordnungsrelation zwischen A und B von C aus, wenn sie von D aus thematisiert wird? Entsprechend kann die Ordnungsrelation zwischen C und D von A aus oder von B aus thematisiert werden.
Für all diejenigen, die immer wieder eine räumliche Darstellung der Proemialität erwartet haben, kann ich nun, aufgrund didaktischer und propagandistischer Kompromisse, den ultimativen proemiellen Würfel (proemial cube) anbieten.
Gewiss müssen die Umtauschverhältnisse des Chiasmus simultan, bei 2 Systemen, wie hinlänglich beschrieben, von beiden Positionen aus vollzogen werden. Soll dies auch (noch) visualisiert werden, erhalten wir eine räumliche Darstellung der Verhältnisse. Eine weitergehende Explikation dieses Schrittes findet sich in meinem eBook DERRIDA`S MACHINES, 2003.
Die verschiedenen vollständigen und unvollständigen Chiasmen lassen sich als Typologie der verschiedenen Formen der Interaktivität von den verschiedenen gesättigten beliebiger Komplexität zu all den Redukten wenig vollständiger bzw. kaum gelingender Interaktivität verstehen.
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